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算数の合否を分けた一題

麻布中入試対策・算数の合否を分けた一題(2019年度)

難易度分類

(1)A (2)A
(1)A (2)B
   B
(1)A (2)A (3)A (4)C
(1)A (2)A (3)B (4)C

A…麻布中合格を目指すなら、確実に得点したい問題
B…知識、解法次第で、得点に大きく差がつく問題
C…難易度、処理量から判断して、部分点を拾えれば良しとする問題

問題別寸評

1(1)

差集め算と不定方程式を融合させた問題です。2つの部屋に入った人数の差を求めることができると正解にたどりつけます。麻布中を目指す受験生としては確実に正解しておきたい問題です。

1(2)

(1)で見つかった人数の差を使い、3つの部屋に入る人数の組み合わせを調べます。表にまとめていくとミスも少なく、確実に正解できたのではないでしょうか。こちらもしっかり正解したい問題です。

2(1)

旅人算の問題です。速さと比についての問題は、状況を線分図やダイヤグラムにまとめることで、「道のり一定」か「時間一定」を見つけるようにしましょう。ここでは、いつもすれ違うA地点と、ある日にすれ違ったB地点、この2地点の間を太朗君とバスがそれぞれ何分で移動するかに気がつけたかがポイントです。難易度は決して高くありませんので、落ち着いて正解したいところです。

2(2)

(1)の結果を用いて計算していくことで、比の①にあたる量を求めていくという典型的な問題です。ただし、(1)を間違ってしまうと(2)も間違えることになるため、慎重に取り組めたかがポイントです。

立体図形の切断と、切り口の面積比に関する問題です。切断自体は切り口の線を延長して交点を求めていく少し面倒な形ですが、難しい切断ではありません。白い部分と赤い部分の境界面と切断面との交点をしっかり見つけ、底辺の比を考えていく部分は少し難しいところです。類題などで学んだ「2回切断」「台形の面積比」などの知識を使いこなせると正解にたどりつけます。学習の成果がはっきり出る問題だと言えるでしょう。

4(1)

問題文に9番目まで全ての数があるので、確実に正解しなければいけない問題です。

4(2)

この問題自体は、77番目から85番目までの数を求めれば解くことができます。ただし、麻布ではおなじみの「誘導」を考えて、「連続する9個の和の規則」に気づけたかどうかが、この後の(3)(4)につながってきます。麻布中を目指す受験生は、目の前の1問を解くことだけ考えるのではなく、後の問題を効率よく解くためのヒントを見つける、といった解法の流れをぜひ身につけてください。

4(3)

この問題を解くときに、(2)から導かれる「ヒント」に気づけたか、が大きく関わってきます。詳しくはこのあとの「合否を分けた1題」で解説いたします。

4(4)

この問題も、(1)から(3)までの全ての問題がヒントを導いており、そのヒントを使わなければ、限られた時間の中で正解にたどり着くのは困難と言えるでしょう。この後にもう1題大問があることを考えると、先に進むのも得策と言えます。どれだけの時間をこの問題にかけたかの判断が合否のポイントになったと思われます。

5(1)

円盤上の2本の矢印が、ある規則にしたがって動き、円盤の周囲にあるコインも規則にしたがって交換される、という複数の規則性を絡めた問題です。(1)はその規則がきちんと理解できているかを問う問題です。問題文と例を確認し、確実に正解したいところです。

5(2)

(1)の結果から矢印がもとに戻るまでの回数はわかります。あとは、1の数字が書かれたコインがどのように動いていくのかの規則を見つけ出しましょう。丁寧に作業を行い、正解したい問題です。

5(3)

(2)からさらに発展し、全てのコインがもとの位置に戻るまでの操作回数を求める問題です。(2)の作業を通して、「コインの移動についての規則」を見つけ出しているかどうかで、(3)の正解が出せるかどうかが決まります。ここも麻布が好む「誘導」が入っています。
今後もこのような問題は出題されると予想されますので、しっかり練習して慣れておきましょう。

5(4)

円盤が7等分から99等分になり、一気に難易度が増しました。ここまでの設問で分かったことをまとめ、矢印とコインの移動についての規則を確実に把握しないと、正解にたどり着くことはできません。頭の中だけで作業せず、書き出してまとめる方法を練習しておきましょう。

合否を分けた1題

例年、麻布中の算数は「平面図形や速さにおける比の習熟」や、誘導に沿った「丁寧な作業力」と「関連付けて考える力」が問われることが特徴です。
ただ難度は年度によって多少上下し、それに伴って4科目の合格最低点も上下することも特徴として挙げられます。今年度の算数は、規則性・調べ上げに関する問題が多く、作業量も多い問題が続き、作業の正確さで点差がつく出題だったと言えます。ただし全体の難易度で見ると、前半部分がそれほど高くないため、平均点は少し下がるものと思われます。
そのような今年の出題において合否を分けた一題として挙げられるのは、麻布対策の軽重が得点差として最もあらわれやすい「数の性質」「調べと規則」を題材にした大問4です。

(1)

問題文にある9つの数字を足しましょう。
3+6+7+9+12+14+15+18+21=105

答え:105

(2)

ここでは、9つの数の和の規則を見つけるため、以下の計算をします。
2番目から10番目までの和
6+7+9+12+14+15+18+21+24=126
これは、(3+6+7+9+12+14+15+18+21)+24-3
=(3+6+7+9+12+14+15+18+21)+21 とあらわすことができます。
3番目から11番目までの和
(7+9+12+14+15+18+21+24+27)
=(6+7+9+12+14+15+18+21+24)+27-6
=(6+7+9+12+14+15+18+21+24)+21
つまり、N番目からの9個の和と(N+1)番目からの9個の和の差は常に21であるということがわかります。
この規則を用いると、77番目から85番目までの数の和は、
1番目から9番目までの数の和+21×(77-1)
=105+21×76
=1701
と求めることができます。
答え:1701

(3)

(2)でわかった規則を用いると、
1~9番目の和 105
10~18番目の和 105+21×9
19~27番目の和 105+21×18
 ・
 ・
 ・
91~99番目の和 105+21×90  となり、
1~99番目の和は、105×11+21×(9+18+・・・+90)
=105×11+21×(9+90)×10÷2
=105×11+21×99×5
=105×(11+99)
=105×110
=11550

答え:11550

(4)

ここでは(2)と同じ作業をして、99個の和の規則を見つけ出します。
この数列の99番目の数は21×(99÷9)=231、100番目の数は234です。
2番目から100番目の和は、
(6+7+……+231+234)=(3+6+……+231)+234-3=11550+231
となります。つまり、N番目からの99個の和と(N+1)番目からの99個の和の差は常に231であるということがわかります。
したがって、N番目からの99個の和が128205となるとき、
11550+231×(N-1)=128205
となります。これを計算してN=506 と求められます。

答え:506番目

最後の設問は、規則を見つけ出さず計算力だけで解くにはかなり骨の折れる難問です。麻布中を目指す受験生は、このような、前の設問の作業から規則を見つけ出す、という解き方をぜひ練習しておきましょう。

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