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算数の合否を分けた一題

慶應普通部入試対策・算数の合否を分けた一題(2017年度)

難易度分類

①A  ②A
①A  ②A
①A  ②B
10

A:慶應普通部合格を目指すなら必ず得点したい問題
B:着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
C:難易度や処理量から判断して、部分点狙いで答案を作成すべき、もしくはとばすべき問題

出題総評

今年も、例年通り大問10題構成となり、40分という短い時間の中で、どの問題を取捨選択するか?という判断力が問われる試験となりました。
大問1は計算2問、大問2は数を数珠つなぎにした和差の問題、大問3は数の操作の問題、大問4はお金のやり取りをテーマにした割合の文章題、大問5はダイヤグラムをテーマにした流水算の問題、大問6は立体の展開図を作図する問題、大問7はカードの数をテーマにした場合の数の問題、大問8は相似が絡む平面図形の問題、大問9はものさしの目盛りをテーマにした数の性質と割合の融合問題、大問10は扇形と三角形の求積問題でした。

問題別寸評

[1]
① 答 300

工夫が一見ありそうな計算問題。ところどころで工夫は出来ますが、何も考えずに一つ一つ確実に計算をして答えを求めてしまう方が時間の浪費を防げます。

② 答 

分数と小数の入り混じった逆算。0.625、0.875はパッと分数に変換できるようにしておきましょう。①も含めたこの大問1では時間をかけることは許されません(2~3分程度が望ましい)。

[2] 答 1544

あまり見慣れない形式の問題で、どこから手をつけたら良いか戸惑った受験生もいたと思われます。
例えば、K+L+Aが2017ということは、そのすぐ右に並んだL+A+Bも2017ですので、KとBは同じ数であることが分かります(3つ離れた数が同じということです)。よって、FとKの数が与えられているので、BとCも分かり、A(Dも同じ数)が求まります。

[3] 答 最大…97 最小…49

2桁の数において、10の位の数と1の位の数を掛け合わせて次の数を作るという、数の操作をテーマにした問題。最後から巻き戻して考えます。かけて8になる組み合わせ(ただし1桁の数同士)は、1×8・2×4・4×2・8×1なので、元の数は18・24・42・81のどれかということになります。その操作を繰り返し、樹形図のように丁寧な調べ上げをしていくことで答えが求まります(中には一部、76のような数が出てきます。一桁の数を掛け合わせて76になることはないので、こういった数は省いて考えるように)。

[4] 答 A…45個 B…30個 C…28個

時間が限られた本校の入試問題の中で、まず出題される複数人同士の物のやり取りをテーマにした、割合の文章題。今年も出題されました。情況の整理や式の処理の面倒さを考えると、40分の中では後回しにすべき問題だと言えます。
まず、A君を⑧+5個、B君を⑦-5個、C君を□個、と置いたうえで問題文に沿って個数の整理をしていくように。最終的にCがAより8個少なくなったので、⑧-12=□となります。さらに厄介なのが、BとCの差が1個と言及されているが、どちらの個数の方が多いのかが分からない点。両方の場合で計算を進めることになりますが、BがCより多いと仮定して計算をしていくと最終的にAが29個、Bが16個、Cが12個となり、これはおはじきの合計の個数が100個という条件に反します。かなりの処理力が要求されるので、ここで時間を浪費するわけにはいきません。

[5]
① 答 時速2㎞

こちらも、本校の入試にはまず出題されるダイヤグラムの問題。グラフから、アの船の下りの速さ、イの船の上りの速さが出せます。両者の静水時の速さも同じことが分かっているので、ここは欠かせない問題です。

② 答 11時02分


ウの静水時の速さが与えられており、先ほどの問題で流速も出せたので、難なくダイヤグラムも作図できるでしょう。3回目に出会った時刻については、10時50分を起点として、4km(BDの距離)離れたアとウの船の出会い算、と捉えれば問題ありません。

[6]



正三角形を6面くっつけた立体から、特定の辺を切って出来る展開図を完成させる問題。切られていない辺、つまりつながっている辺から展開図を徐々に完成させていくようにしましょう。頂点記号をふるのも忘れずに。本校の受験生としては、落としてはいけない問題です。

[7] 答 17通り
[7] 答 17通り

場合の数の問題。詳細は、合否を分けた一題として後述します。

[8] 答 32㎠

線をのばして砂時計型相似を作り、3連比に持ち込んで考える典型的な平面図形の問題。本校に限らず、様々な受験校対策をしている中でこのパターンの問題は何度も目に触れてきたはずです。まずはEからFに向かって線を引き、底辺比から三角形DEFの面積を求めます。さらに、BからCおよびEからGに向かって外側に線をのばし、両方の線の交わる点を使って砂時計相似→3連比と考えていくようにしましょう。この問題も確実に得点するようにしてください。

[9]

2種類の物差しがあり、両者の全体の長さや1目盛りあたりの長さを、数の性質や割合に絡めて解いていく問題。まずは、Aは100等分、Bは90等分してあるので全体の長さについてAを100、Bを90とおき、さらにBがAの1.5倍の長さなので、Aは100、Bは150となりますが、先ほどの90と150の最小公倍数でBを450、Aを300とおくと分数や小数も出さずにスムーズな計算が行えます。

① 答 21か所

Aは1目盛りが300÷100=3、Bは1目盛りが450÷90=5となります。両者の最小公倍数を考えたあとは植木算の観点が絡んでいるので+1をするのを忘れないように!

② 答 42

問題文だけでは、イメージがなかなか湧きづらいでしょう。線分図にすることをおすすめします。Bから測ったときに、Bをまるまる使い(この時点で450の長さ)、さらにAの20の目盛りまできたということは、300÷100×20=60の長さまでなので、ひもの長さは450+60=510と言えます。そして、Aから測った図をもう一つ書いたうえで、先ほどと同じようにBの途中のどこまでひもが来るのかを考えるとよいでしょう。

[10] 答 304.8㎠

最後を飾る問題としては、少し拍子抜けをしてしまうような典型題。大問8と同じく、今までこの形は何度も目にしてきたはずです。中心から各頂点に向かって線を引き、中心角が150度の扇形の面積から、30度の利用で求まる三角形の面積を引いて考えるシンプルな問題です。確実に得点しましょう!

合否を分けた一題

今年の慶應普通部の算数は、例年と同じようにやり取りの割合の文章題・速さのダイヤグラム・立体の展開図といったお馴染みの問題以外に、明らかに簡単な平面図形の問題も目立ちました。より、40分という短い時間の中で、どの問題に何分の時間を費やすか、という判断が強く問われた試験だと言えます。
今回は、後半の問題群の中で大問7の数が絡んだ場合の数の問題を、合否をわけた一題としてご紹介いたしましょう。

[7]場合の数

小さい順に3枚のカードの数を足していって探し出す力技もありますが、被ってしまう数が大量にあることと、40分しか時間がない中でそれはタブーです。本問は、探し出しをしているうちにある“規則”に気づけるかどうかを、試験作成者は受験生に試しています。
その“規則”というのは、“3枚の和は特定の数を除いて、1おきになっていること”です。
3枚の和で考えられる最小の数は、3+3+5=11ですが、実は次の12は3+3+6、13は5+5+3、14は3+3+8…とすべて作れてしまうのです。最大の数は10+10+8=28なので、11~28の18通り、となりますが、これは誤りです!カードの中で、7と9が欠けていることに気づけたが正誤の分かれ目。最大の次の27は、10+10+や10++8といった組み合わせになるので作れません。26は10+8+8で、さらに次の25は10+10+5で作れます。したがって、唯一作ることのできない27をのぞいて、17通りとなります。

答え:17通り

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