算数の合否を分けた一題（2019年度）

算数の合否を分けた一題

慶應普通部入試対策・算数の合否を分けた一題（2019年度）

難易度分類

［１］	①A　②A
［２］	A
［３］	A
［４］	B
［５］	①B　②B
［６］	①A　②B
［７］	①A　②B
［８］	C
［９］	B

Ａ：慶應普通部合格を目指すなら必ず得点したい問題
Ｂ：着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
Ｃ：難易度や処理量から判断して、部分点狙いで答案を作成すべき、もしくはとばすべき問題

出題総評

今年は、昨年よりも１題減って大問9題構成となり、40分という限られた時間の中で、どの問題を取捨選択するか？という例年通りの正確な判断力ならびに問題処理能力が問われる試験となりました。ただ問題数が減ったこともあり、今年は昨年と比較して全体的に取り組みにくい問題が若干増えたと言えます。
大問１は計算２問、大問２は倍数の考え方を利用した数の性質の問題、大問３は食塩水混合の割合の問題、大問４は比を利用する旅人算の文章題、大問５は三角形を見つけ出す平面図形の問題、大問６は相似を利用した図形問題、大問７は立体図形の切断問題、大問８はサイコロの目の出方を考える場合の数の問題、大問９は展開図を考える立体図形の問題でした。

問題別寸評

［１］

①

答　
分数と小数の混合計算の問題。一つ一つ、計算をして出た値を書き留めるとともに素早くミスなく正解を出すように。

②

答　５４
先ほどの問題に引き続き、分数と小数の混合計算問題。今年が２０１９年なので、与式の左側の分母を通分すると２０１９になっています。０．０３７５＝と出せると計算が少し楽になります。①も含め、この大問１で時間をかけることは許されません（２問で３～４分程度が望ましい）。

［２］

答　５９６７
～でわって、という条件が２つ存在する倍数を考える数の性質の問題。
１３でも１７でも割れ、お互いが素であることから問われている４ケタの数は１３×１７＝２２１の倍数であることが分かります。また、１の位が７であることから２２１×□←１の位は７しかありえません。２２１×７＝１５４７、２２１×１７＝３７５７…となるので、１０の位が６になり、かつ４ケタであるものを探し出します。

［３］

答　９．７％
濃度の分かっている食塩水と分かっていない食塩水同士を混ぜ合わせる操作を２回おこなう割合の問題。問題文の指示に順番通りに従い、面積図あるいは天秤を使っていけば難なく答えに辿り着ける平易な問題です。
まず、濃度１０％の食塩水Ａ２００ｇと、濃度の不明な食塩水Ｂ１００ｇを混ぜ合わせて９％になったので、ここからＢは７％と求まります。さらに、その濃度７％の食塩水Ｂ２５０ｇと、濃度の不明な食塩水Ｃ２００ｇを混ぜ合わせて８．２％になったことから先ほどと同じ手順で食塩水Ｃの濃度が求まります。

［４］

①答　１時間１２分　②答　3㎞／時
Ａ君とＢ君の動きをしっかりと整理しなくてはならない、比を用いた旅人算の問題。
詳細は、合否を分けた一題として後述します。

［５］

①答　６個　②答　１６個
与えられた図形の中から、三角形の個数を求める問題。図がシンプルなので情況の把握はしやすいですが、ともすれば数え漏れが起こるので決して平易な問題とは言えません。
自分の中で指針をたてて場合分けをしていくと良いでしょう。①の問題であれば、サイズを小・中・大とわけます。小は線をまたがずに出来る三角形→２個、中は線を１本またいで出来る三角形→３個、大は全体なので１個というように。②であれば、全体の（６か所に分かれたうちの１か所分）→６個、全体の（６か所に分かれたうちの２か所分）→３個、全体の（６か所に分かれたうちの３か所分）→６個、全体（６か所に分かれたうちの６か所分）→１個というように考えます。

［６］

①答　３６㎝　②答　５０㎝
長方形の中の直角三角形相似をうまく利用していく平面図形の問題。
①三角形の面積の公式から、高さを逆算する問題。ここでの間違いは絶対に許されません。
②Ｅから、ＡＢに向かってＡＤと平行な線を引き、ＡＢと交わった点をＧとします。ＡＧは、①の答えより３６㎝です。続いて、ＧＢの長さについては三角形ＧＢＥに着目します。三角形ＧＢＥと三角形ＦＢＣの中において、角ＧＥＢと角ＦＢＣは平行線による錯角の為に等しく、また角ＥＧＢと角ＢＦＣは直角で等しく、かつ残りである角ＧＢＥと角ＦＣＢは同じです。ここから、お互いの三角形は相似であることが分かります。辺の比は三角形ＦＣＢから、２１：７２：７５＝３：２４：２５です。次に、ＧＥを求めます。①で考えた三角形ＡＥＤについて、ＥからＡＤに向かって引いた垂線がＡＤとぶつかる点をＨとすると、ＧＥ＝ＡＨとなります。したがって、三角形ＡＥＤと三角形ＡＨＥの直角三角形相似を用いて、ＡＨは４８㎝と求まり、先ほどの三角形ＧＥＢを使えばＧＢも求まり、答えに辿り着けます。

［７］

①答　１０㎝　②答　１５６㎤
立方体から、三角すい台を切り取った切断の問題。
①まずは、線を伸ばして立方体だった状態を再現します。ＡＢの延長線とＦＩの延長線が交わる点をＫ、ＤＣの延長線とＧＪの延長線が交わる点をＬとします。四角形ＢＩＪＣは切断面であり、ＢＩとＣＪが平行であることから三角形ＢＫＩと三角形ＣＬＪは相似であることが分かります。三角形ＣＬＪについて着目してみるとＣＬ＝１２－６＝６㎝、ＪＬ＝１２－３＝９㎝なので６：９＝２：３です。次に三角形ＢＫＩを見てみるとＫＩ＝１２－９＝３㎝なのでＢＫ＝２㎝と分かり、ここからＡＢの長さが求まります。
②切り取った立体が三角すい台なので、辺を延長して大きな三角すいにします。ＬＫ、ＣＢ、ＪＩの３辺を延長して交わった点をＭとします。すると三角形ＭＫＩと三角形ＭＪＬがピラミッド型相似であることが分かり、その相似比はＫＩ：ＬＪ＝３㎝：９㎝＝１：３です。ここから、三角すいＭ－ＢＫＩと三角すいＭ－ＣＬＪは相似形であり、その体積比は１×１×１：３×３×３＝１：２７です。求めるべき立体の体積は比の２７－１＝２６にあたるので、三角すいＭ－ＢＫＩの体積を求め、それを２６倍すれば答えが求まります。

［８］

答　１５通り
サイコロを３回ふり、目が奇数か偶数かで動き方が変わる場合の数の問題。
短い試験時間の中で、場合分けの仕方に悩む受験生が多かったものと思われます。３回のうちの各々の目が、奇数か偶数かで場合分けしてみましょう。①奇奇奇　②偶奇奇　③偶偶奇　④奇遇奇　⑤偶偶偶　⑥奇奇偶　⑦奇遇偶　⑧偶奇偶　となりますが、ＡからＧまで６マス分はなれていることから、３回目は偶数でないとＧに辿り着けません。したがって、上記の①～④までは除外されます。続いて、スタートのＤからゴールのＧまでは奇数である３マス離れていることから、⑤の偶偶偶も不可能です。さらに、←（奇数）の動きが３回中２回も続く⑥の場合も除かれます。⑦奇遇偶については、１－２－２、１－６－２、３－２－４、３－４－２、５－２－２、５－６－２の６通りが存在します。⑧偶奇遇については、２－１－２、２－３－４、２－５－６、４－１－２、４－３－４、４－５－６、６－１－４、６－３－６、６－５－４の９通りが存在します。

［９］

答　ア・イ・エ
展開図を組み立てて出来る立方体について、模様の位置も考えなくてはならない立体図形の記号選択問題。
まずは立方体の見取り図を描き、頂点記号をＡ、Ｂ…Ｈとふってしまい、どこかの模様のある面をベースにして、その通りになるように示されている展開図に頂点記号を全てふってしまいましょう。そのうえで、各々の選択肢を吟味し、模様の位置と面および頂点が合致するかを調べていきます。ウのみが矛盾します。

合否を分けた一題

今年の慶應普通部の算数は、例年とは違い、やり取りを行う割合の文章題がなくなり、図形分野の出題が９題中の４題と多くを占めました。また、速さの問題は健在でした。さらに、毎年出題されている場合の数が昨年よりも明らかに難化していました。
４０分という短い試験時間の中で、どの問題に何分の時間を費やし、どれだけより他の受験生よりも高得点を取れるか、という姿勢が本年も強く問われた試験でした。
今回は、前半の問題群の中で大問４の旅人算の問題を、合否をわけた一題として紹介しましょう。

［４］速さ（旅人算）

Ａ君とＢ君、二人の登場人物の動きをしっかりと整理できたかが正解・不正解の分かれ目と言えましょう。往復をしていますが、貴重な試験時間を割いてまでダイヤグラムを描かずとも、十分に対応できる問題です。
①Ａ君の動きについて整理してみましょう。行きは２÷３＝時間＝４０分かかり、帰りは２÷５＝時間＝２４分かかっています。このことから、出発してから４０分後に展望台に着き、４０＋２０＝６０分後に休み終わって展望台を出発し、６０＋２４＝８４分後に宿舎に戻ってきたことになります。また、Ｂ君は展望台と宿舎のちょうど真ん中の地点でＡ君を追い越した、とあるのでＡ君が出発してから６０＋２４÷２＝７２分後にＢ君に追い越されたことになります。
答え：１時間１２分後
②Ａ君を追い越した７２分後までの、Ｂ君の動きについて整理してみましょう。宿舎から展望台までの２㎞を進み、さらに２０分休んでから行きの４倍の速さで進み、展望台と宿舎の真ん中の地点でＡ君を追い越します。まず、Ａ君が出発してから１６分後にＢ君が出発したので、７２－１６－２０＝３６分が移動時間の合計になります。速さの比が行き：帰り＝１：４なので、距離が同じであれば時間の比は行き：帰り＝４：１となります。ところが、帰りの距離は半分になっているので時間も半分となり、その比は行き：帰り＝４：０．５＝８：１です。その合計の９が３６分にあたるので、比の１は４分、行きに４×８＝３２分かかったことになります。よって、２㎞÷時間＝3㎞／時がＢ君の行きの速さと分かります。
答え：3㎞／時