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算数の合否を分けた一題

城北中入試対策・算数の合否を分けた一題(2018年度)

難易度分類

[1] (1) A  (2) A 
[2] (1) A  (2) A  (3) A  (4) A  (5)B  (6)C
[3] ①~⑥ A ⑦~⑩ B
[4] (1) A  (2) B   (3) B
[5] (1) A  (2) A   (3) B

A:城北中学合格を目指すなら必ず得点したい問題
B:着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
C:難易度・処理量から判断して、得点差がつかない問題

出題総評

今年の入試は大問5題、小問17題という構成でした。速さではダイヤグラムの読み取りの問題、立体図形では切断の問題の出題でしたが、いずれも冷静の対処できれば正解できる問題だったのではないでしょうか。しかし、大問4の速さの問題などで、(1)を間違えると当然その答えは(2)以降でも影響がでるので、計算で必要以上に時間を費やしたり、正解までたどり着けなかったりした受験生もいたのではないでしょうか。算数の合格者平均点は77点と高得点です。いかにミスを少なく抑えることができたかが合否を分けたカギとなったでしょう。

問題別寸評

【1】

計算点
(1)四則計算 (2)逆算

【2】

小問集合
受験生おなじみの2種類の食塩水を混ぜる問題です。
面積図や天秤をつかって3%食塩水と6%食塩水の重さの比が3:1であることがわかるので、
540 × 2018_gouhi_sansu =360g・・・・・3%食塩水の重さ
540 × 2018_gouhi_sansu_2 =180g・・・・・6%食塩水の重さ
全体の仕事量を14分と10分の最小公倍数の70とすると、1分当たりの注水量はA管で5、A 管とB管の合計では7となるので、B管だけの1分当たりの注水量は2になります。よって70の全体の水の量をB管だけで注水すると70÷2=35分

正六角形を6等分すると1辺20㎝の正三角形6個に分けることができます。一辺が30㎝の正三角形と一辺が20㎝の正三角形の面積比は3×3 : 2×2 =9 : 4 となります。
よって9 : 4×6 =3 : 8になります。

(4)おうぎ形の折り返しの問題です。OA=AD=Oであることに着目すると
三角形OADは正三角形になるので、角AOD=60度であるとわかります。したがって、角BODは 110度-60度=50度になります。三角形BODは、OB=ODなので二等辺三角形ですから求めるアの角度は(180-50)÷2=65度になります。

下図のように、ア+ウの直角三角形と、イ+ウの直角三角形が合同であることに気づけばアの部分の面積とイの部分の面積が等しくなります。アの部分を移動させると、中心の角度が30度分のおうぎ形が4つ分になるので、
6×6×3.14×2018_gouhi_sansu_4×4=37.68 ㎠
2018_gouhi_sansu_3

周期の問題です。6と50の最小公倍数は150ですから、6個進んで白を黒に塗っていくと
150÷6=25周期繰り返し、26周期目で1番初めに塗った黒石を2回目黒く塗ることになります。よって25個の白い石が黒く塗られたことになります。
   

【3】

A<B<C<Dのとき、 4つの数のうち2つの数の和の大きさはの関係は
A+B<A+C<A+D,B+C<B+D<C+D になります。
和の組みA+B合わせが6種類あるのに和の値の種類が5種類しかありません。このときA+D,B+C の大きさは同じであるといえます。
したがって、A+B=11,A+C=13,A+D=B+C=16, B+D=19,C+D=21となります。ここで、BとCの差に着目してみます。A+B=11,A+C=13であるので C-B=2であることがわかります。また、BとCの和はC+B=16だから和差算で(16+2)÷2=9となり、C=9,B=7になります。よって A=4 B=7 C=9 D=12

【4】

合否を分けた一題で解説します。

【5】

立体図形の切断の問題です。
2018_gouhi_sansu_5

図1の三角形ABCが切り口になります。

三角形PQCと三角形ABCは、相似比 1 : 2 の相似形ですから、面積比は 1 : 4となります。したがって台形ABQPの面積と三角形PQCの面積比は 3 : 1とわかります。台形ABQP
 
切断した切り口は、図2のようになります。三角形PQCの面積が6㎠ですから、の面積は 6×3=18㎠です。切り口の面積は、台形ABQPが3つ分と三角形PQCを合わせたものであるから、18×3+6=60
60㎠

合否を分けた一題

日ごろからダイヤグラムに慣れておかないと、緊張しながらの入試本番ではなかなかやっかいな問題です。今回はその中でも流水算からの出題でした。Pの上りの速さと下りの速さにいち早く着目し、(1)を落ち着いて解答できれば全問正解も可能です。ただし、(1)の答えが出ないと全滅という問題の作りになっているため、合否を分けた一題になったのではないでしょうか。

【4】速さ ダイヤグラムの利用

2018_gouhi_sansu_6

 64÷2018_gouhi_sansu_7=時速48km ・・・・・ Pの上りの速さ
45÷2018_gouhi_sansu_8=時速60km   ・・・・・ Pの下りの速さ

よってPの静水時での速さは(48+60)÷2=時速54km

(2)(1)より 川の流れの速さは時速6 ㎞とわかります。
Qの上りの速さは、45÷2.5=時速18㎞ですから、
Qの静水時の速さは時速24㎞となります。
したがって、Qの下りの速さは時速30㎞なので、QがAB間を下るのに必要な時間は、
45÷30=1.5(時間) アの値は、280分から1.5時間前だから ア=190

(3)上のダイヤグラムの中の相似を利用して解くと、簡単に解答できます。
相似比は(206.25-190):(280-150)=16.25 : 130 = 1 : 8 
2018_gouhi_sansu_9
よって、2回目に出会った地点は、A地点から
45 × 2018_gouhi_sansu_10 = 40㎞ とわかります。

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