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算数の合否を分けた一題

駒東中入試対策・算数の合否を分けた一題(2019年度)

難易度分類

[1] (1) A  (2) A  (3) ① A  ② A  ③ B
[2] (1) C  (2) A
[3] (1) A  (2) B  (3) C
[4] (1) A  (2) B  (3) B

A…駒場東邦中学合格を目指すなら、確実に得点したい問題
B…知識、解法次第で、得点に大きく差がつく問題
C…難易度、処理量から判断して、部分点を拾えれば良しとする問題

出題総評

全体的に難しくはないですが、重要なポイントがつかめているかが試される良問揃いでした。
例年より小問数が5問前後少ないというのが、今年度の大きな特徴かもしれません。
昨年、3年ぶりに出題された数え上げ問題が再び姿を消し、一昨年話題となった記述問題もありませんでしたが、今年度は立体図形の見取り図を描かせる問題がありました。易しい問題のはずですが、普段から自分で図を描いていない人は、意外と時間がかかってしまったかもしれません。
毎年必ず、日頃の学習に対する学校側からのメッセージが含まれているのが駒東の算数です。

問題別寸評

(1)~(2)は、極めて基本的な計算問題と一行問題でした。ここは確実に得点しておきたいところです。 (3)は、それ自体が大問になっているような形式でした。もともとは小問集合にするつもりで作問したのですが、難しすぎると判断して、後から誘導をつけたのかもしれません。

(1)
足し算や引き算では帯分数を利用するなど、分数を上手に扱うことができれば、ごく基本的な問題でした。計算の順序に気をつけて、確実に正解してください。

(2)
内側から、1×6,2×6,3×6,……という規則になっていることが分かれば簡単です。1辺が10個となるのが1×9のときであることに注意しましょう。

(3)
問題で指示された通りに、点P,点Qを作図してみましょう。図が正しく描ければ、①・②は「砂時計型」「クロス型」などと呼ばれる、極めて基本的な相似の問題です。
③は、三角形FHIと三角形BCFの面積比が求まるかどうかが鍵でしょう。三角形BCFが平行四辺形ABCDの面積の2分の1であることを利用します。

大問[2]も、形式としては小問集合ですが、完全にバラバラな問題なわけではなく、裏側には「作図」というテーマが存在しています。

(1)

問題の見た目の異様さで戦意喪失してしまった人がいるかもしれませんが、短針に対して、重なり始めた瞬間と両針が離れる瞬間の長針の状態を作図してみるとそれほど難しくはありません。
ただし、時間がかかる割には小問でしかありませんので、テストの際には一旦後回しにするのが

(2)

総評でも触れましたが、普段から自分の手で見取り図を描く練習ができているかを試す意図の問題でしょう。落ち着いて、正確に作図してください。

毎年のように出題される「数の性質」に関する問題です。
2,3,4,5,6の倍数ですから、基本的には最小公倍数である60を一つの周期として考えていくことが、正解を導き出す鍵となります。

(1)

《n》=0ということは、2,3,4,5,6いずれの倍数でもないということです。この題意さえ正しく読み取れていれば易しい問題でしょう
実際には、4の倍数であれば必ず2の倍数でもありますし、6の倍数であれば必ず3の倍数でもありますので、2,3,5の倍数でない数を求めればよいことになります。
(1)に関しては、30を1周期として考えれば簡単でしょう。

(2)

《n》=1ということは、1つだけ割れない数があるということですが、2で割れなければ必ず4や6でも割れませんし、3で割れなければ6でも割れません。また、6で割れなければ必ず2でも3でも割れませんから、「1つだけ割れない数」の対象は4か5しかありません。
次の(3)とともに、詳細は「合否を分けた一題」で後述します。

(3)

本問を「合否を分けた一題」とし、詳しくは後述します。

影の作図方法が分かっている人にとっては、易しかったことと思います。
光源が2つありますが、光源②は(2)でしか使いませんし、基本的に光源①とは対称な位置にありますからできる影も対称です。わざわざ図を描き直す必要もありませんから得点しやすいでしょう。

(1)

問題用紙の中に用意されている「上から見た図」を使うためには、正面から見た図で、影の先端がどこまで伸びているかを確認しておかなければなりません。
投影図の要領で真正面から見た図を描いて考えましょう。

(2)

光源①によってできた影と対称な形で、光源②によってできた影を作図します。
その重なりによってできる三角形の面積を求めますが、辺CEを底辺としたときに高さにあたある部分の長さを、これも相似を利用することで求めればよいでしょう。
図さえ描けていれば簡単な問題です。

(3)

四角すいを矢印の方向に移動すると、影の先端は次第に四角すいに近づいてきます。
そして、影の先端が辺CEと一致したときに、影がなくなることになります。

合否を分けた一題

【問題】大問[3]
(3)

nを1以上2019以下の整数とします。
nを5個の整数2,3,4,5,6のそれぞれで割ったとき,割り切れない数の個数を《n》と表します。例えば,30は2,3,5,6で割り切れ,4で割り切れないので,《30》=1です。さらに,100は2,4,5で割り切れ,3,6で割り切れないので,《100》=2です。
次の問いに答えなさい。
(3) 《n》=1と《n+6》=1の両方を満たすnの個数を求めなさい。

【解法】
まず、2の倍数は2個おき、3の倍数は3個おきというように、倍数は規則的に現れますから、周期算の考え方が使えます。本問の場合、2,3,4,5,6の倍数を考えることになりますから、これらの最小公倍数である60までを1つの周期として考えます。

では、メインは(3)ですが、(2)を前提とする問題ですので、まずは(2)から考えていきましょう。

《n》=1ということは、2,3,4,5,6の中に割れない整数が1つだけあったということになります。
しかし、先述の通り、2の倍数でなければ自動的に4や6の倍数でもありませんから、これらの数の中で「2だけで割り切れない」ということはあり得ません。
同様の理由で、「3だけで割り切れない」ということもありえないのが分かるでしょう。

また、6は2と3の最小公倍数ですから、6で割り切れないということは、2と3の公倍数でもないことになります。そうなると、少なくとも2か3のいずれかでは割れないということになりますので、やはり「6だけで割り切れない」ということは起こりません。

したがって、可能性があるのは「4だけで割り切れない」か「5だけで割り切れない」のいずれかということになります。

60までの周期の中でこれらの条件にあてはまる数を探していくと、次のようになります。

4だけで割り切れない……30
5だけで割り切れない……12,24,36,48

つまり、1周期の中に該当する数が5個ありますので、

 2019÷60=33あまり39
 あまり39の中では、12,24,30,36の位置にあたる数4つの数が該当するので、
 5×33+4=169(個)

(2)で考え方ができていれば、(3)も簡単に求めることができます。
「《n》=1と《n+6》=1の両方を満たす」ということは、
これらnの値に6を加えた数も《n》=1の条件にあてはまればよいことになります。

 12+6=18 ×
 24+6=30 ◯
 30+6=36 ◯
 36+6=42 ×
 48+6=54 ×

したがって、《n》=1のなかで《n+6》=1にもあてはまるのは、
60までの周期の中では2つ(24と30)だけとなります。

 2019÷60=33あまり39
 あまり39の中では、24,30の位置にあたる2つの数がともに該当するので、
 2×33+2=68(個)

(答え) (2) 169個  (3)68個

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