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算数の合否を分けた一題

聖光学院中入試対策・算数の合否を分けた一題(2015年度)

難易度分類

[1] (1) (2) (3)
[2] (1) (2) (3) (4)
[3] (1) (2) (3)
[4] (1) (2) (3)
[5] (1) (2)(ア)(イ)(ウ)

A:聖光中合格を目指すなら必ず得点したい問題
B:知識・着眼点・解法により正答率やかかる時間に差がつく問題
C:難易度や処理量から判断して、自信がなければ一旦とばすべき問題

問題別寸評

[1]小問集合

(1) は一見時間がかかりそうだが、かけ算・割り算が多いので、あまり難しくはないはずです。
3.375の0.375部分を一気に8分の3とするのは基本ですね。

(2)速さと比の問題。(流水算)
A(静水):B(静水):川の流れ=8:6:1 から
A(上り)=7 A(下り)=9  B(上り)=5 B(下り)=7
あとはPQの距離を1とおいて「距離÷速さ=時間」の公式に当てはめればよいですね。
聖くん:光くん=1÷9 + 1÷5 : 1÷7 + 1÷7
これを計算すれば正解にたどり着けます。

(3)食塩水。
食塩水に水を加える場合「食塩の総量は不変である」ことに目をつけられるかどうかが勝負。はじめの食塩水の量を□グラムとすると
5秒後の食塩は (□+50)×0.05
10秒後の食塩は (□+100)×0.03

これ(食塩の総量)が等しいので
(□+50)×0.05 =(□+100)×0.03
逆比をとって」
(□+50):(□+100)=0.03:0.05

ここから比例式で□=25グラムを出せば、あとはすんなり正解が導けるはず。

[2]数と規則に関する問題

(1) まずは小手調べです。
きちんと条件にしたがって数をあてはめ、足し算をするのみです。

(2) ここから調べあげていく必要があります。
百の位の数字を □ とすると、十の位は □+2 か □-2 になります。(差が2)
十の位が □+2 のとき、一の位は □+5 か□-1 になります。(差が3)
十の位が □-2 のとき、一の位は □+1 か□-3 になります。(差が3)

つまり、(百の位、十の位、一の位)の順で
ア (□、□+2、□+5)
イ (□、□+2、□-1)
ウ (□、□-2、□+1)
エ (□、□-2、□-3)の4パターンが考えられます。
このうち、アとエは百の位と一の位の差が1にならないため×。
候補はイかウになります。あとは、イとウの□にそれぞれ入りうる数字をあてはめていけばよいです。

(3) この問題は「各位の差」を考えて、それぞれの数が操作をおこなうことで作られるか否か
1つ1つ確かめていくのが実は近道ですね。

(4) 条件を整理整頓しておくと、いわゆる「当てはめ」でも短時間で正解にたどりつける設問です。
まずは条件②と③から、 Aの十の位が9で、 【A】の十の位が0であると考えます。
同様に条件①~③から、 Aの百の位が□で、 【A】の百の位が□+1であると考えます。

あとは□に1~9の数値をあてはめていけば、短時間で正解にたどり着けるのです。

[3]やり取り算

内容は、【合否を分けた一題】にて後述します。

[4]図形の回転移動の問題

設問自体は奇をてらったものではないのですが、正解の数値がやや細かい整数になったり、
3.14の計算の工夫が必要だったりと、計算力が問われる設問になっています。

(1)これは「半径の数値はわからないけれど、半径×半径の数値はわかる」という、
図形の回転移動でよくある形に気がつくかがポイントです。

正方形PQRSの対角線PRの長さを□とすると、
□×□=18 になりますね。

あとは以下の式に18を当てはめ、以下の計算を正確にするだけです。
□×□×3.14×1/4

(2)まず、回転する対角線が(1)とは異なり、対角線QSである点に注意しましょう。
対角線QSが通過する部分の図形は
ア:「半径がARとRQの四分円から直角二等辺三角形ARQを引いたもの」
イ:「半径がBRとRQの四分円から直角二等辺三角形BRQを引いたもの」
ウ:「対角線QRの正方形からその正方形の半分の面積の直角二等辺三角形をひいたもの」上記のア+イ+ウ になります。この設問のポイントは上記のウの部分で
「点Rを中心として対角線QSが回転する場合、点Rに最も近い部分は直線PRの半分の長さになる」という点です。また、上記のア+イ+ウを求める際に「計算の工夫」をすることも大切です。
計算の工夫をすると、
3×3×3.14×1/4-□×□×1/4×3.14×1/4-3×3×1/4×2
という式になるはずです。

あとは3.14の計算をまとめていきましょう。
3.375×3.14-4.5
までくれば、正解はあと少しですね。

(3)この設問は正方形PQRSが正方形ABCDの周りを「1周の4分の1」した状態まで図を描き、そこまでで対角線QSが通過した部分の面積の4倍が答えるべき面積わかると早く解けるかなと思います。
ウ:「対角線QRの正方形からその正方形の半分の面積の直角二等辺三角形をひいたもの」
エ:「半径QBの半円」
上記のウとエをそれぞれ4倍したものが答えになります。

[5]

「立方体をいくつかに分けて塗っていく」というよくある問題のようですが、なかなか難しい問題でしたね。

(1) まず、これをしっかり「数えあげる」ことからスタートですね。
回転したり、ひっくり返したりすると同じ配置になるものを見極めながら、数えあげていきましょう。

(2) この設問を考えながら、立方体の『頂点』『辺』『面』の関係を思い出すことができたなら、解くのがスムースになるでしょう。

(ア) 外の立方体1個が「9個のうち中央にある場合(立方体の『面』にあたる)」「9個のうち角にある場合(立方体の『頂点』にあたる)」「9個のうち中央でも角でもない場所にある場合(立方体の『辺』にあたる)」の3通りです。

(イ) 黒い立方体がAの位置にあるということは、立方体の『面』にあたる。
もう1つの黒い立方体が真裏か側面の中央にある場合(『面』と『面』の関係) 2通り
もう1つの黒い立方体が角にある場合(『面』と『頂点』の関係) 2通り
もう1つの黒い立方体が上記いずれでもない場所にある場合(『面』と『辺』の関係)3通り合計で7通りです。

(ウ) この設問は以下の
『頂点』と『頂点』の関係
『頂点』と『辺』の関係
『辺』と『辺』の関係
をそれぞれ調べ上げていくと重なって数えてしまうことがなくなります。
もちろん、回転したり、ひっくり返したりすると同じ配置になるものを見極めながら、
数えあげていきましょう。

合否を分けた一題

本年度で合否を分けた一題はこの[3]かなと思います。
各設問とも、「目のつけどころ」がポイントであり、それに気が付けば比較的容易かつ計算ミスも少なく得点源にすることができる一方、気が付かないと、大問をまるまる落とすことになりかねない恐ろしさがありますね。
では、いってみましょう。

(1)ポイントは「玉を色分けして考える思考法と、色は無視して考える思考法を両方使うこと」と、
「5人の間で玉をやりとりしているため総数は変わらない」ことに気が付くどうかです。

(1) ここで、玉の色は考えず、各自の個数のみに注目できたかどうかが重要です。
「A~Eが同じ個数の玉を持っていて、CがBに32個わたし、DがBに80個わたし、DがEに56個わたすと、CとDの合計がEよりも32個多くなった。」と読み替えます。

あとは、線分図を5本描けばシンプルな和差算として解けるはずです。

ですが、もしここに気が付かないで玉の色にこだわって解こうとしてしまうと、3つの設問すべてを落としてしまうかなり危険な設問ですね。

(2)この設問は「Aはだれとも玉をやりとりしていない。」「A~E間で誰も白玉をやりとりしていない。」という事実に気が付くことができたか否かがポイントです。

「Aはだれとも玉をやりとりしていない。」ため、Aのもっている白玉は
1280÷40=32個 になります。
Aは256玉のうち32玉が白なので、8分の1が白玉ということになります。

また、「それぞれの赤玉と白玉と青玉の比は同じ」で「A~E間で誰も白玉をやりとりしていない。」
ため、Eが最後に持っている白玉は
312(Eの持っている玉)×1/8=39個
とシンプルに正解までたどりつけます。

(3)約数の感覚を試される設問ですね。
赤:白:青=ア:イ:ウ
とすると、ア+イ+ウはA~Eそれぞれの持っている玉の個数である、
256、368、 224、120、312
の公約数になります。
最大公約数は 8 になりますね。

ここでBの持っている玉に注目すると
全体で256個、白は46個で、赤は少なくとも112個以上になります。
青玉を最大にする必要があることを考えると、
ア:イ:ウ=3:1:4 になりますね。

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