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算数の合否を分けた一題

聖光学院中入試対策・算数の合否を分けた一題(2016年度)

難易度分類

[1] (1)A  (2)A  (3)B
[2] (1)A  (2)A  (3)C
[3] (1)A  (2)B  (3)B
[4] (1)B  (2)B  (3)B
[5] (1)(ア)A  (イ)A  (2)C

A…聖光学院中学合格を目指すなら、確実に正解したい問題
B…知識、解法次第で、得点に大きく差がつく問題
C…難易度、処理量から判断して、得点出来なくとも差がつきにくい問題

問題別寸評

[1]
(1)

□にあてはまる数を求める問題です。手順通りやれば問題ありません。0.625=は覚えておきましょう。

(2)

100から999までの整数の中で、21と互いに素な整数がいくつあるかが問われています。21=3×7より、21と互いに素な整数は3の倍数でも7の倍数でもないものです。ベン図を描いて正確に処理しましょう。

(3)

問題の見取り図と選択肢の展開図の各面を対応させて、ふさわしくないものを選びましょう。正解の選択肢自体は比較的選びやすいものでした。

[2]
(1)

N進法の問題です。6までの数が使えるという条件から7進法とわかります。ここで6進法としないことが1つ目の注意点です。1番目が0であるため、答えが1つズレてしまうことにも気を付けましょう。

(2)

(1)と同様に答えが1つズレることに注意しましょう。また、(1)と作業を逆にしてはいけません。

(3)

6が使われていないものを桁数ごとに整理しても良いですし、余事象を利用して6が使われていないものを(1)の答えから引くのも良いです。正確に数え切った受験生は少なかったと考えられます。

[3]
(1)

詳しくは後で述べますが、(3)まで場合分けと計算で処理できる場合の数です。問題文に例が書いてあるときは決して読み飛ばさず、例と同じ作業をして同じ過程・結果になることを確認してから問題に臨んでください。

(2)

正六角形の頂点にコマが来るのは大きく分けて2つのパターンがあります。1つ目を見つけた時点で答えが出たと思い込んで結論を下さず、他の場合もあるかもしれないと疑いながらコマの動き方を試してみましょう。また、(2)のみ解き方を記述する形式になっています。採点者に伝わるような答案が書けていたかどうかも重要なポイントでした。

(3)

サイコロを4回振る分、場合分けは増えますがポイントは(1)と同様です。場合の数の考え方が身についている受験生にとっては(3)まで比較的解きやすかったのではないかと考えられます。

[4]
(1)

光さんチームは複数人で往復を繰り返すので、全体の動きを捉える方法としてはダイヤグラムが望ましいです。線路沿いを歩く人が電車とすれ違い、追い抜かれる問題と要旨は同じです。(1)は速さの差が問われているので、追い抜かれる時間と距離の差に注目しましょう。

(2)

(1)で速さの差を求めたので、同様に速さの和を求めることを考えてください。すれ違う時間と距離の和から速さの和が求められたら、あとは和差算です。(3)のために光さんチームの速さも求めておくとよいです。

(3)

発想は(1)・(2)と同様です。(2)で求めた聖さんの速さを1.2倍して、光さんチームとの速さの差を考えます。(1)に手がついたら、(3)まで取り切りたい問題です。

[5]
(1)

(ア) 7:24:25を使うことは明らかです。答えの数値は複雑にはなりますが、計算の手順自体は非常に少ないので、見直しをしつつ確実に正解したい問題です。

(イ) (ア)と同様、手順は少ないが数値は複雑です。丁寧に計算しましょう。

(2)

回転した後の三角形を正確な位置関係で描くことができるかが最初のポイントです。三角形を描くことができれば相似・面積の比を利用します。ただし、(1)に比べて極端に難度が高いため、合否には直接影響しなかったものと考えられます。

合否を分けた一題

今年の入試から合否を分けた1題として取り上げるのは[3]です。[3]・[4]ともに(1)に対する着想次第で、大問1つ分の出来不出来が決まってしまう問題でした。[3]・[4]以外の問題は小問毎に易しいものと難しいものが比較的はっきり分かれており、今年の入試では[3]・[4]の2題が受験生間で差がつく問題でした。また合格者平均点84.7点は比較的低得点であることから、 [4]については手がつかない受験生が多く、[3]の出来が合否を分けたものと考えます。

(1)

サイコロを3回振って点Оに戻るときを考えます。㋐、㋑、㋒それぞれの方向について逆向きにコマを移動させることはできないので、点Оに戻るためには㋐、㋑、㋒それぞれの方向に同じ長さだけ移動しなければいけません。このとき考えられる㋐、㋑、㋒の方向へ移動した長さは、(㋐、㋑、㋒)=(1㎝、1㎝、1㎝)、(2㎝、2㎝、2㎝)の2通りです。よって、3回のサイコロの目の組み合わせは(1、2、3)、(4、5、6)の2通りとなります。最後に各々について目の出る順番を考えて、
  3×2×1×2=12通り

(2)

正六角形の頂点にコマがあるのは、サイコロを3回振った結果、点Оからいずれかの方向に1㎝だけ離れた点にコマが来るときです。例えば、1、2、6の順に目が出たときは㋐の方向に1㎝、㋑の方向に1㎝、㋒の方向に2㎝コマを移動させます。㋒の方向も1㎝であれば(1)のようにコマは点Оに戻ることになりますが、㋒の方向への移動が1㎝長い分、コマは点Оから㋒の方向に1㎝だけ離れた点Eに移ります。同様に、4、5、3の順に目が出たときは㋐、㋑の方向に比べて、㋒の方向への移動が1㎝短い分、コマは点Оから㋒と逆の方向に1㎝だけ離れた点Bに移ります。つまり、移動させた長さが1方向だけ1㎝長いまたは1㎝短いときに正六角形の頂点にコマがあります。このとき考えられる㋐、㋑、㋒の方向へ移動した長さの組み合わせは、(1㎝、1㎝、2㎝)、(1㎝、2㎝、2㎝)の2通りですが、各々について㋐、㋑、㋒の順列が3通りずつあります。

よって、㋐、㋑、㋒の方向へ移動した長さは、3×2=6通り
さらにサイコロの目が出る順番を考えて、3×2×1×6=36通り

(3)

(1)と同様に、コマが点Оに戻るのは㋐、㋑、㋒それぞれの方向に同じ長さだけ移動したときです。このとき考えられる㋐、㋑、㋒の方向へ移動した長さは、(㋐、㋑、㋒)=(2㎝、2㎝、2㎝)の1通りです。この長さをサイコロを4回振って移動させることを考えます。方向3つに対して移動は4回あるので、いずれか1方向は2回に分けて1㎝ずつ、残り2方向は1回で2㎝移動させます。㋐の方向へ1㎝ずつ2回移動させるときのサイコロの目は1が2回、5が1回、6が1回となります。この順番を考えて、
  4×3=12通り
㋑の方向へ2回、㋒の方向へ2回移動させるときも同様に、
  12×3=36通り

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