算数の合否を分けた一題（2017年度）

算数の合否を分けた一題

聖光学院中入試対策・算数の合否を分けた一題（2017年度）

難易度分類

［１］	（１）A　（２）B　（３）A
［２］	（１）A　（２）B　（３）B　（４）C
［３］	（１）A　（２）A　（３）（ア）B　（イ）B
［４］	（１）A　（２）A　（３）A　（４）B
［５］	（１）A　（２）作図…B　　面積…B　体積…C

Ａ：聖光学院中合格を目指すなら必ず得点したい問題
Ｂ：着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
Ｃ：難易度や処理量から判断してとばすべき問題

出題総評

今年も、例年通り大問５題構成、時間が６０分と長く与えられてはいるものの、聖光中らしい特徴的で難解な問題も中には目立ちました。
大問１は計算１問を含む小問集合、大問２は数の性質を中心にした場合の数の問題、大問３は平面図形を中心にした場合の数の問題、大問４は水量変化の問題、大問５は相似形を利用した立体図形の問題でした。

問題別寸評

［１］

（１）　答　

分数と小数が入り混じった穴あき算の計算問題。特に計算の工夫もないので、落ち着いて答えを求めるように。0.625や21.25は、瞬時に分数に変換できるようにしておきましょう。

（２）　答　

（３）　答　１１４㎤

立体切断の問題ですが、この切断は極めてシンプル。まずは１段目から８段目の個数を、三角数の考え方から合計して出します。１個の立方体について、３点で切断すると㎤が減ることになるので、１段目から８段目で表面に出ている個数を、等差数列の和の公式で求めることによって答えが導けます。

［２］

数の性質をメインのテーマに据えた、場合の数の問題。本校らしい問題で、着眼点によって差がわかれる問題と言えるでしょう。詳細は合否をわけた一題として、後述します。

（１）　答　２８９

（２）　答　８通り

（３）　答　４８通り

（４）　答　２・４・８・１０

［３］

正方形において、２つの辺を３等分する点から４つの点を選び、色々な四角形を考えていく問題。

（１）　答　３６個

ただの場合の数の問題です。４つの点から２つを選ぶのが何通りであるのか？本校の受験生は瞬時に求められなくてはなりませんし、ここでの失点は許されません。

（２）　答　

こちらも、図２を見たら砂時計相似を利用して答えを求めるのだ、ということに気付かなくてはいけない問題です。ここまでは落とせません。

（３）　答　（ア）６個　（イ）５個

［４］

グラフはなく、問題文における水を入れ始めてからの様子と、水槽の図を比較しながら読み解いていく問題。正面から見た図については、段階ごとに確実に書いて解き進めるように。

（１）　答　１：１

ア時間後の様子から、仕切板の右側は満水になったことが分かります。あとは水深が０．９ｍになった時の左側の体積と、右側の体積が求まるので比をとるだけです（もちろん、奥行きがともに２５ｍなのでそこを省略しても構いません）。

（２）　答　ア３　Ｑの給水量１５０㎥

７．５時間後の様子から、仕切板の両側とも水深が３．６ｍになったことが分かります。体積→１時間あたりの水量が求まり、それがＰ－Ｒ＋Ｑになるので、（１）で分かったことと照らし合わせると、まずはＱの給水量が求まります。そのうえで、ア時間後の右側の水量を考えるとアも求まります。

（３）　答　１００㎥

１８時間後、３６時間後の様子から水が減ったのは仕切板の左側だけであることが分かります。長さから体積が出せるので、Ｒの排水量が求められます。ここまでは本校の受験生としては１問も落とせないところです。

（４）　答　イ１０．５　ウ４．８

どのように処理をしていけば困った受験生も少なからずいたのではないでしょうか。着目するのは９．５時間後。Ｑを閉めた時、計算すると水は２８５０㎥入っています。その後、完全に満水になるイ時間後まではＰ－Ｒ＝１５０㎥が一時間ずつ入る量になります。そして、満水になった後はＰを止めたので、Ｒ＝１００㎥が一時間ずつ減る量になります。最後に、１８時間後の水量は計算すると２２５０㎥となります。１５０㎥／時増えていた時間と、１００㎥／時減っていた時間の合計は１８－９．５＝８．５時間ですから、ここで弁償算の考え方を使うことに気付けたかどうかが正誤の分かれ目です。そこからイの時間が求まり、水量計算でウの値も求まるというわけです。

［５］

立体空間上で、複数の点の位置から相似形を使ったり、ある点の動く範囲を設定することで、他の点がどのように動くかを作図する問題。（１）の求め方が、（２）の作図につながっていきます。

（１）　答　ＱＲ＝８ｃｍ　ＢＲ＝３ｃｍ

大事なのは、立体でなくあくまで平面上で考えていくということ。面ＡＢＣＤが問題用紙上に図として与えられているので、そこに点Ｘ・Ｑ・Ｒをすべて書き込んでいきましょう。以下のようになります。

アの三角形とイの三角形の相似比は、各々の縦の長さから３：６＝１：２となります。アの横の長さは４．５－４＝０．５ｃｍですので、イの横の長さも求まり、最終的にＢＲが分かります。ＸＭ＝４ｃｍと問題文で与えられているので、先ほどの相似比を使えばＱＲも求まります。

（２）　答　面積１３．５㎠　体積３６．５㎤

作図と面積までは何とかなるが、最後の体積については試験の残り時間が少ない点と、複雑な形になるので、出来なかった受験生も多くいたと思われます。
作図については、（１）でＰが斜線部分の左上にある時はすでに考えました。Ｐが斜線部の右上に来るときは、先ほどの図と左右が逆の位置に来ることになるので、すぐに図が描けるでしょう。Ｐが斜線部の左下と右下に来るときについて、（１）で用いた相似を利用する方法で考えた上で作図をすると上記の答えのようになります。面積についても、作図さえ出来れば台形であることが分かるので、上底・下底・高さをきちんと考えたうえで計算をすれば容易に解けることでしょう。
題意の立体は、作図すると以下の形となります。

全体から、赤い部分を引いて考えることになります。

上図の様に、ア（８×６÷２＝２４㎠）を底面とする高さが１ｃｍの三角柱と、高さが合計で３－１＝２ｃｍの三角錐でわけて計算するとよいでしょう。そのうえで、引くべき赤い部分についても同じように計算をしていくと求まりますが、立体の形が想像しづらいうえに、
計算の処理がかなり厄介なので後回しにすべき問題と言えます。

合否を分けた一題

今年の聖光学院の算数は、６０分という試験時間は変わらず、難易度の極端な変動のなかった試験と言えます。
今回は、前半の問題群の中で大問２の数の性質と場合の数の問題を、合否をわけた一題としてご紹介いたしましょう。

［４］数の性質と場合の数の融合問題

（１）

最大の数なので、まずは１０・９・８・７のカードを取ったことが分かります。
（１０＋９）×（８＋７）＝２８５、（１０＋８）×（９＋７）＝２８８、（１０＋７）×（９＋８）＝２８９となるので、答えは２８９です（かけ合わせる２数の差を０に近づける方が積は大きくなる）。
答え：２８９

（２）

（Ａ＋Ｂ）×（Ｃ＋Ｄ）＝７０なので、７０の約数をペアにして書き出す、というポイントに気付けたか否かが、正誤の分かれ目です。
１　　　２　　　５　　　７
７０　　３５　　１４　　１０
となりますが、２，３，６，８のカードで作れる組は５と１４だけです（２＋３＝５、６＋８＝１４とか）。
ＡとＢの入れ替えで２通り、ＣとＤの入れ替えで２通り、そしてＡ＋ＢとＣ＋Ｄの組自体の入れ替えで２通りなので、２×２×２＝８通りとなります。
答え：８通り

（３）

先ほどの問題と同じように、かけて１００になるペアを探し出します。
１　　　　２　　　４　　　５　　　１０
１００　　５０　　２５　　２０　　１０
となりますが、ＡとＢの和（あるいはＣとＤの和）は最大でも１０＋９＝１９なので、考えられるペアは１０と１０しかないことになります。
片方の組が１と９の場合、もう片方は２と８・３と７・４と６が考えられます。
片方の組が２と８の場合、もう片方は３と７・４と６が考えられます。
片方の組が３と７の場合、もう片方は４と６が考えられます。
それぞれについては、（２）から８通りが存在するので、答えは８×６＝４８通りとなります。
答え：４８通り

（４）

これまでの考え方に倣って、積が１０８，１４０，１４４になり、存在するペアは以下のようになります。
１０８…６と１８・９と１２　１４０…１０と１４　１４４…８と１８、１２と１２
１４０は一組に確定するので、ここから調べます。
１０の組が１と９の場合、１４の組は１０と４・８と６が考えられます。
１０の組が２と８の場合、１４の組は１０と４・９と５が考えられます。
１０の組が３と７の場合、１４の組は１０と４・９と５・８と６が考えられます。
１０の組が４と６の場合、１４の組は９と５が考えられます。
この中で、１０８と１４４に合致するのは、２と８・１０と４のみです（１０８は６×１８で、２＋４と８＋１０。１４４は１２×１２で、２＋１０と４＋８）。
よって、小さい順に並べると２・４・８・１０となります。
本問については、限られた時間の中ですから、すべての組について検証をする時間はなかなかないと思います。当てはまる組が見つかったらすぐにそれを答えとしてしまい、後半の問題へと進むようにしましょう。
答え：２・４・８・１０

著者：受験Dr. (受験ドクター)

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