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算数の合否を分けた一題

芝中学入試対策・算数の合否を分けた一題(2016年度)

難易度分類

(1)A  (2)A
A
B
B
(1)A  (2)B
(1)A  (2)C
(1)B  (2)B
(1)A  (2)C
(1)B  (2)B  (3)C

A…芝中合格を目指すなら必ず得点したい問題
B…着眼点や解法により正答率・かかる時間に差がつく問題
C…難易度や処理量から判断して、とばすべき問題

問題別寸評

(1)(2)

小数と分数の四則混合計算、逆算
煩雑ではありますが、普通の計算問題です。確実に正解したいところです。0.625や0.375などを、8を分母とする分数に素早く変換して考えることができると時間短縮に効果的です。

分数の性質、約分に関する問題
約分して分子が1となる→分子が分母の約数
約分できる →分子が「分母を素因数分解したときの要素の倍数」のとき
約分できない →「全体の個数」ひく「約分できるものの個数」
これらの似ている問いの意味を正確に読み分け、目的にかなった処理をすることが大切です。

旅人算と周期
はじめに3分遅れで出発し、その後もB君は出会うたびに3分休むことから、A君とB君が出会うまでの時間は常に一定であることがわかります。
すなわち(1360m−80×3)÷(80+200)+3分=7分おきに2人は出会う。
一方で、AがP地点に戻ってくるのは1360m÷80=17分おきなので、
AがP地点にいて、なおかつそこでBと出会うような時間は、17分と7分の公倍数を利用して求めることができます。

比の積・比の商
2つの直角三角形ABFとFEDは面積の比が5:4、高さの比が3:2なので、底辺の比AF:FDは5÷3:4÷2=5:6だとわかります。
このとき、
三角形ABFの面積は3×5=15
三角形FDEの面積は2×6=12
台形ABEDの面積は(3+2)×(5+6)=55という比で表すことができ、
三角形BEFを表す比は55−(15+12)=28とわかるので
ここから、BEFの面積は、5㎠÷15×28と求めることができます。

立方体に関する問題

(1)

床に押されるハンコの形を問われているので、立方体の「下の面」を考えなければならないことに注意が必要です。矢印の向きにも注意して考えましょう。

(2)

押されたハンコの形(=下の面)だけではなく、そこにつながっている周りの4面も図に小さく描きいれておいて考えると、転がる向きが変わったときにも確実に対応できるようになります。

図形の調べ上げ

(1)

ななめの正方形も漏れなく数えることを忘れないようにしましょう。

(2)

2.5マス分の面積を持つ三角形をつくります。中央にななめの10マス分の正方形を作ることができれば、その半分の三角形が10㎠になります。

後述、合否を分けた一題参照

図形上の点の移動
問題の意味を「読み替え」て考えてみましょう。形は長方形ですが、池のまわりを回る場面との類似性に注目します。PQを結ぶ直線が長方形ABCDの面積を二等分するのは、PとQがちょうど「半周差」がついたとき、円でいえばPQが直径になるような位置関係のときです。
それはすなわち、1周の半分、24cmの差がついたときということですから、24cm÷(5-2)=8秒後が最初だということがわかります。

合否を分けた一題

芝中学は思考力を問う問題を好んで出題してきます。単純に、この問題はこう処理する、と決まったパターンに当てはめて解ける問題ではない場合、どうアプローチするか。この「思考力」への対策が合否を分けるといえるでしょう。ここでは、思考力を鍛えるための3つの観点に注目してみましょう。①情報を整理する力、②細かい要素に分解する力、③基本形を発見する力、の3つです。

[7]は個数のある売買損益の問題でした。
仕入れ値はわかりません。
定価は仕入れ値の2割増し
1日目に売れた個数は仕入れた個数の半分
この時点で392個分の仕入れ値と同じ金額の損
以上が(1)を解くための手がかりとして与えられている情報です。

定価で売れた部分では2割の得をし・・・・① 要素への分解
売れなかった部分では10割の損をしています・・・② 要素への分解
この①と②の差が全体での損失を表します
また、この損失金額が、392個ぶんの仕入れ値と同じだという情報が与えられています
1個あたりの仕入れ値はわかっていませんから、具体的な金額はわかりません。ただ、392個が全体の何分のいくつにあたるのかに注目してみます。

仕入れた個数の半分ぶんの金額の2割と仕入れた個数の半分ぶんの金額の10割との差とは、つまり仕入れた個数の半分の金額の8割にあたり、それはさらに簡単に整理すると「仕入れた個数全体金額の4割」ということになります。
これが392個ぶんにあたるということなのですから。
392個が全体の4割 ・・・ 基本形
したがって、もとの個数は392個÷0.4=980個だとわかります。

(2)

3日間の利益の状況を整理すると
定価で売れた1日目は売れた個数の仕入れ値の2割が利益となっており・・・・① 要素への分解
仕入れ値と同じ価格で売り出した2日目には得も損もしておらず ・・・・② 要素への分解
3日目は定価の2割引きで売っていますから、1.2×0.8=0.96で、仕入れ値よりも下回っています。
つまり3日目は売れた個数の仕入れ値の4分(1-0.96)が損となっています。・・・・③ 要素への分解

また、3日間の利益の合計が
はじめに予定していた利益の28分の13だったことから整理すると
予定の利益全体を 28 と比で表すとき
1日目の利益は半分の14
2日目は損得なし
3日目に □ の損
その結果14-□=13の利益 という場面なので、3日目の損が 1 とわかります

ここで、全体(980個)の2割(0.2)が28で、3日目に売った個数の4分(0.04)が1にあたることから

全体の個数と3日目に売った個数の比は
28÷0.2 : 1÷0.04 = 28 : 5   ・・・・基本形 (比の商)

よって1日目と2日目と3日目の個数の比は
14 : 14-5 : 5 = 14 : 9 : 5

2日目に売った個数は
980個 ÷28 ×9 = 315個だとわかります。

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