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算数の合否を分けた一題

渋谷中入試対策・算数の合否を分けた一題(2017年度)

難易度分類

[1] (1)A (2)A (3)A (4)B (5)B (6)B
[2] (1)B (2)B (3)B
[3] (1)B (2)C (3)C
[4] (1)A (2)A (3)A

A:渋谷教育学園渋谷中合格を目指すなら必ず得点したい問題
B:着眼点や解法により正答率・かかる時間に差がつく問題
C:難易度や処理量から判断して、部分点狙いで答案を作成すべき、もしくはとばすべき問題

問題別寸評

[1]

6題からなる小問集合、(6)のみ、式・考え方の記述を要求されるという例年どおりの出題です。

(1)

分数と小数が混ざった逆算タイプの計算問題で、本校では定番の出題です。答の数値があまりきれいではなく不安になりますが、合格のためには落とせない一題です。

(2)

渋渋中受験生であれば何度も練習をしたことがある設問でしょう。
「0が一の位から続けて何個並ぶか?」というのは「10で何回割れるか?」という問いと同じです。10=2×5ですが、1~200の積の中に2よりも5の個数の方が少ないのは明らかなので、結局のところ、素因数分解したときの5の個数を求めれば答が得られます。
その際、1~200に5の倍数が何個あるかだけでなく、5×5=25の倍数や、5×5×5=125の倍数が何個あるかも考える必要があることに注意しましょう。

(3)

分かっている角度を書き込んでみると、三角形OEFと三角形DCOは合同になっていることが確認できます。すると、OFとCDの交点をGとしたとき、四角形CEFGと三角形ODGの面積は等しいことが分かります。
よって等積移動により、与えられた斜線部分の面積はおうぎ形OCDの面積に等しいことから答を得ます。
渋渋中受験生であれば、何度か練習したことがあるはずです。

(4)

「AとCがともにFと隣り合う」という条件から、これらを[AFC]と一くくりにして、「[AFC]、B、D、E、G、H」の6つを1列に並べる」と考える手法を取るのが良いでしょう。
さらに、「AとCがいずれも端になく」との条件から、[AFC]は端に来ることができません。
先にB、D、E、G、Hの5つを並べるのは5×4×3×2×1=120通り。その後、これらの間の1か所に[AFC]を挿入する方法が4通り。さらには[AFC]の代わりに[CFA]とくくることもできますので、結局120×4×2=960通りが答えとなります。

(5)

(6)

15の倍数というのはあまり見慣れない設定ですが、15=3×5より、3の倍数かつ5の倍数であることに注目して求める解法にはすぐにたどりついてほしいところです。
5の倍数であるためには、一の位の数字が0または5である必要があります。さらに3の倍数になるためには各位の数字の和が3の倍数であればよく、

一の位が0の場合…百の位と十の位の数字の組み合わせは(1,2)(1,5)(2,4)(4,5)。
一の位が5の場合…百の位と十の位の数字の組み合わせは(0,1)(0,4)(1,3)(3,4)。

以上8通りの組み合わせのうち、(0,1)(0,4)の並べ方は各1通り、他は2通りずつありますから、求める個数は1×2+2×6=14個とわかりました。

[2]

3つの食塩水の混ぜ合わせという設定自体はよく見ますが、(1)から一筋縄では行きません。詳しくは、合否を分けた一題として後述します。

[3]

例年は[4]で出題されていたような条件整理系の問題が、今年はここに配置されました。
試験場ではたいへん考えにくい問題であったと思われます。(1)は条件をうまくさばくことができれば比較的容易ですが、(2)(3)は本番では飛ばすことも視野に入れるべき煩雑さです。

(1)

多くの条件が記されていて、どこから手を付けてよいのか途方に暮れそうですが、(1)を解決するためには、表のすぐ下の段落に書かれた条件までを整理できれば充分なのです。
条件から、大人=②、学生=①と置くことができて、それぞれ35人と16人未満です。さらに、子供の人数は6人以上で、大人は子供の3倍よりも多くなっています。
ここから、子供が6人のとき、7人のとき…と調べていくだけでも答えにたどり着けますし、大人と学生の合計が3の倍数になっていることを意識できれば、もう少し見通しよく解くことも可能です。

(2)

試験場で厳密な解法を取って解くのは大変厳しいでしょう。

(1)で大人、学生、子どもの人数がそれぞれ30人、15人、8人と求まっているので、割引を使わないで入場する場合の合計金額は46000円と分かります。
①の方法では、大人30人と学生の割引料金23人分、すなわち30000円+(学生の割引料金)×23という金額を支払うことになり、これと通常料金の差は16000円-(学生の割引料金)×23と表されます。さて、これは4650円、4150円、2200円のうちのどれでしょうか?
4650円、4150円だとすると(学生の割引料金)の値が整数では表されません。したがって、2200円であったことになり、(学生の割引料金)は600円と求められました。

同様に、②の方法で支払う金額と通常料金の差は、46000円-{(大人の割引料金)×45+(子どもの割引料金)×8}、③の方法と通常料金の差は、38000円-{(大人の割引料金)×35+(子どもの割引料金)×8}と表されることを確認してください。

すると、前者が4650円で後者が4150円であるならば、
(大人の割引料金)×45+(子どもの割引料金)×8=41350円
(大人の割引料金)×35+(子どもの割引料金)×8=33850円
となりますし、前者が4150円で後者が4650円であるならば、
(大人の割引料金)×45+(子どもの割引料金)×8=41850円
(大人の割引料金)×35+(子どもの割引料金)×8=33350円
ということになります。

それぞれ消去算として解くことにより、(大人、子ども)=(750円、950円)または(850円、450円)という値が得られますが、子どもの団体割引料金は通常料金より安くなっているはずなので、正解は(大人、学生、子ども)=(850円、600円、450円)であることが分かりました。

実際の試験場では、例えば「大人の割引料金はおそらく1000円と800円の間になっているだろう」などの推測や当てはめを駆使しながら答えを得るほうが現実的かもしれません。
いずれにせよ、大変厳しい出題であったと考えます。

(3)

③の方法をヒントに、「学生から大人に5人移して大人を35人とし、子どもから6人を学生に移して学生を15人とし(既に学生から大人に5人移しているので、子どもから1人移したのでは学生の団体割引が利用できません)、残った2人の子どもは通常料金で入場する」という方法に思い至ることができれば、後は計算問題となります。
(2)を解決した上で、直感力、洞察力が必要となる、やはり厳しい出題でした。

[4]

例年[3]で出題されていた立体図形が、[4]として出題されました。渋渋中の立体図形としては、捉えやすくかなり易しめであると言えるでしょう。

(1)

立体切断の基本的出題です。立体の表面上にあるMN・NHを結んだあと、MNと平行な線が底面に現れることに留意してFHを結ぶという手順を、念のため確認しておきましょう。

(2)

まずは、上面にあるMNを結び、延長して図のように新たな2点を取ります。

新たに取った2点とEを結び、BF、DHとの交点として、更に2点を得ることができます。


M、Nと交点を結べば切断完了です。

ここから相似の関係を用いて答えを得るのは、渋渋中受験生にとっては基本レベルです。

(3)

(2)で示した図から、求める体積は、大きな三角錐から小さな三角錐を2つ除いて求められます。こちらも、切断さえできれば基本的な問題です。

合否を分けた一題

大問4題の構成に変化はありませんが、[1]が小問集合、[2][3]に条件整理系、[4]に立体図形と、例年と比べて単元の配置の異なるセットとなりました。
全体には、合格レベルの受験生にとっては昨年よりもやや解きやすく感じられたことでしょう。とはいえ練習不足の受験生にとっては引っかかりそうな設問も多く、差のつきやすいセットであることに変わりはありません。
合否を分けた一題として、[2]の食塩水の問題を取り上げます。

[2]

3つの食塩水の混ぜ合わせの出題です。条件設定が珍しく、多くの受験生にとって(1)が考えづらかったと思われます。(1)を正解することができれば、渋渋中受験生ならば(2)(3)は得点できそうなところ。受験生間で差のついた出題であったと思われます。

(1)

(2)

食塩水Cをできるだけ多く使うのですから、250gすべてを使うと考えてみましょう。もし8%の食塩水であるC 250gと単一の食塩水Dを混ぜて7.4%の食塩水500gを作るとしたら、Dの濃度は何%になるでしょうか?
天秤図や面積図で考えれば容易に分かるように、Dは6.8%の食塩水250gですね。ということは、AとBをうまい比率で混ぜ合わせて6.8%の食塩水を作ればよいことになります。ここも天秤図か面積図で考えることで正解に至ることができます。

(3)

「目標の7.4%より唯一濃い食塩水であるCをなるべく少なく使うためには、AとBのうち濃い方であるBをなるべく多く使えばよい」ということに思い至るかどうかが鍵です。
このことに気がつけば、(2)のCの代わりにBを250g使うところからスタートして、(2)と同じ手順で正解を求めることができます。

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