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算数の合否を分けた一題

早大学院入試対策・算数の合否を分けた一題(2018年度)

難易度分類

[1] (1)A (2)A (3)①A ②A
[2] (1)B (2)B (3)B
[3] (1)B (2)B (3)C
[4] (1)A (2)A (3)A (4)C

A:早大学院合格を目指すなら必ず得点したい問題
B:着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
C:難易度や処理量から判断してとばすべき問題

出題総評

今年も、大問1は計算を含む小問集合が全4問、大問2~4は様々な単元にわかれた昨今の形式が踏襲された入試となりました。
詳細については、大問1が分数や小数の混合計算および場合の数、大問2は速さ、大問3は平面図形、大問4は数の操作の問題でした。

問題別寸評

[1]
(1)

答 9360
分数と小数が入り混じった計算問題。234×…の部分は工夫をするように。落ち着いて計算していきましょう。

(2)

答 あ…1 い…3 う…0 え…1 お…4
空欄に数を補充して式を計算することで、特定の数を作らせる数の性質の問題。まず、2018÷10=201.8となり、0.8をどう作るかに着目します。あ、い、う、えに整数を入れただけでは作れないので、お÷5で0.8を作ったことになる。ここから、まずは お…4 となります。続いて、残りの式は あ×125+い×25+う×5+え=201 となり、一の位に着目すると え…1 が決まります。残りの200が成立するように あ、い、う を定めていきます。

(3)

答 ①60個 ②4通り
カード並べをテーマにした、数の性質と場合の数の問題。
作る数が9の倍数なので、各位の和も9の倍数になります。和が9…(1,2,6)(1,3,5)(2,3,4) 和が18…(1,8,9)(2,7,9)(3,6,9)(3,7,8)(4,5,9)(4,6,8)(5,6,7) どの組も0を含まないので、それぞれ並び替えて6個ずつの数が作れます。
十の位と一の位をひっくり返した時に、偶数になってしまうので元の数の十の位が偶数であることはありえません。同じ理由で、5で割れてしまうことからも元の数の十の位は5ではありません。このことから、元の数の十の位は1,3,7,9と絞れます。その上で素数を探していくと、13・17・37・79となります。

全ての問題において、ここでの失点は避けたいところです。

[2]

答 (1)1500m (2)27分後 (3)250m
2人が登場する旅人算の問題。太郎、次郎ともに何度もAB間を往復するので、線分図よりダイヤグラムのほうが、描く手間があるとはいえ本問の攻略には適しているでしょう。
太郎の休みの時間は60秒=1分、次郎の休みの時間は90秒=1.5分としてダイヤグラムを描くと以下のようになります。
2018_gouhi_sansu_01

(1)

太郎がはじめてBを出発する14分後に着目します。次郎が、あと16.5-14=2.5分でAにたどり着くので、その距離を計算したあとに全体の距離から引けば答えが求まります。

(2)

14分後に、二人は(1)の答えより1500m離れていることが分かりました。しかし、その2.5分後に次郎がAに着きます。2人の間は、(250-200)×2.5=125mしか縮まないので求めるべきはAからBに向かう時(次郎なら18分後以降、太郎なら23分以降)ということになります。太郎が出発する23分後の時点で、二人は200×(23-18)=1000m離れており、その差が800mになればよいのであと(1000-800)÷(250-200)=4分かかることになります。これはまだ、次郎がBに到着していないので成立します。

(3)

太郎がBを出発するのが14分後で、出発地点(=ABの中間地点)を通るのは14+1000÷250=18分後です。次郎は休み終わり、Aを出発した瞬間です。その時の二人の情況、そして二人が同時にBに到着するまでの様子を線分図にすると以下のようになります。
2018_gouhi_sansu_02
太郎は、図の青色の点線の部分を1000÷250=4分で進むので、出発してから向きを変えるまでの時間が(10-4)÷2=3分ということになり、ここから距離を求めれば答えが求まります。

[3]

答 (1)780cm (2)1300cm (3)16250㎠
詳細は合否を分けた一題として後述します。

[4]

答 (1)あ…11 い…19 (2)う…1 (3)え…5 (4)お…41
数が、偶数であるか奇数であるかによって操作の内容が異なる、数の操作の問題。例示もあり、ルールがシンプルなので問題全体の難易度は高くはないでしょう。

(1)~(3)

題意が掴み取れているか、の確認問題です。ルールに従って計算すると
26(偶)→13(奇)→22(偶)→11(奇)→19となります。
32=2×2×2×2×2なので、5回操作をする=2で5回割ると1です。
23(奇)→37(奇)→58(偶)→29(奇)→46(偶)→23(奇)となります。
最後の大問とはいえ、ここまでの失点は許されません。

(4)

樹形図を使いながら、さかのぼって調べていきます。[1]の計算であれば、その数に2をかける。[2]の計算であれば、その数に2をかけた後、5を引いて3で割ります(ここで5を引けなかったり、3で割り切れない場合は考える必要はありません)。
整理すると、以下のようになります。

2018_gouhi_sansu_03

合否を分けた一題

今回は、中盤の問題群で図の中の相似を上手く使いこなしていかないと攻略できない、平面図形の単元である大問3について合否をわけた一題として紹介しましょう。

[3]

平面図形(相似)

(1)

三角形PSRに着目すると、PR=585cm、SR=468cmなので辺の比が585:468=5:4です。また、問題文の条件から角PSRは直角なので、三角形PSRは斜辺の比を5とする、3:4:5の直角三角形であることが分かります。

2018_gouhi_sansu_04
よって、BRは1040÷4×3=780cmとなります。
答え:780cm

(2)

BCは1040÷4×5=1300cmとなります。

答え:1300cm

(3)

補助線を引いて相似を作り出し、ピラミッド・砂時計相似を使いこなす必要のあるかなりの難問です。問題で問われているのが三角形の面積なので、底辺をQDとして高さおよびQDを求めることを考えます。
QDについては、三角形ABQと三角形SBRのピラミッド相似を考えます。
2018_gouhi_sansu_05

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