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算数の合否を分けた一題

桐朋中入試対策・算数の合否を分けた一題(2018年度)

難易度分類

[1] (1)A (2)A (3)A
[2] (1)A (2)A (3)B
[3] (1)A (2)B 
[4] B
[5] (1)A (2)B (3)B
[6] (1)A (2)B  (3)B
[7] (1)B (2)B (3)B~C

A…桐朋中を目指すなら、確実に得点したい問題
B…知識・解法次第で大きく差がつく問題
C…難易度や処理量から判断して、とばすべき問題

問題別寸評

1 

3題とも基本的な計算問題です。落ち着いて全問正解しましょう。

2 小問集合
(1)

速さと時間の比が逆比になることを用います。
「雨の日は、晴れの日の2018_gouhi_rika_1の速さで歩く」ので、雨の日に家から学校までかかる時間は、晴れの日の2018_gouhi_rika_2になります。したがって、雨の日の時間は18×2018_gouhi_rika_2=27分であることが分かります。

(2)

つるかめ算の典型題そのままです。ケアレスミスに気をつけて、確実に正解しなくてはなりません。

(3)

小さいサイズ1本の値段を①とすると、大きいサイズの値段は①+40円と表せます。
大きいサイズならちょうど15本買えるので、ひろし君の持っていたお金は、
(①+40円)×15=⑮+600円と表せます。
同じお金で小さいサイズなら21本買えて60円残るので㉑+60円とも表せ、
㉑+60円=⑮+600円より、
⑥=540円→①=90円と分かります。
求めるのはひろし君の持っていたお金であることに注意して解答しましょう。

3 平面図形
(1)

三角形ACDと三角形HGDの相似に注目すれば、すぐに求められます。相似比は3: 1ですね。2:1とするミスに注意しましょう。

(2)

まわりの三角形を全体のひし形から引いて求める解法もありますが、(1)からの流れを考えると、四角形EFGHを台形とみて直接求める方が良いでしょう。
EFの長さは、三角形ABCと三角形EBFの相似に注目して4cm。
ACとBDの交点をOとすると、OB=OD=3cm。OBの方はEFによって2等分されていて、ODの方はHGによって2:1に分けられています。したがって、GHとEFを上底・下底と見たときの台形EFGHの高さは1.5+2=3.5cmと求められます。

4 比と割合の文章題

初めに入っていた赤玉と青玉の個数をそれぞれ119と置くと、合計は20と表せます。
赤玉は4個取り出したので11-4個に、青玉は5%増やしたので9×1.05=9.45 になりました。その結果、合計は2%増えたことから、20×1.02=20.4になっています。
11-4個+9.4520.4 ⇒ 20.45-4個+=20.4より、0.05=4個であることが分かり、この関係から答えが得られます。

5 速さ(旅人算・3人)

3人がさまざまな向きに移動するので、混乱させられた受験生も多かったと思われますが、冷静に条件を整理すれば、少なくとも(1)(2)まではあまり難しくありません。

(1)

多くの条件のうち、出発して4分30秒後にAとBが出会ったことだけから、基本的な出会いの旅人算として求められます。
(160+80)×4.5=1080mが答えですね。

(2)

(1)の結果から、AがP地点に戻るのにかかった時間は、1080÷160=2018_gouhi_rika_3分→6分45秒後です。したがって、Cが戻るまでにかかった時間は6分45秒+1分55秒=8分40秒だと分かります。

(3)

前の2問と比べるとやや考えにくいでしょう。
BがQ地点を通ったとき、CはQ地点まであと30秒、すなわちQ地点の30m手前にいます。よって、出発してからBがQ地点を通るまでにBとCが移動した道のりの合計は、1080-30=1050mです。
1050÷(80+60)=7.5分→7分30秒 …BがQ地点を通るまでの時間
7分30秒+30秒=8分  …CがQ地点を通るまでの時間
(2)とあわせ、Cが橋を渡るのにかかる時間は、8分40秒-8分=40秒であることが分かりましたので、ここから答に至ります。

6 数の性質(調べ上げ)

素数を題材とした調べ上げの出題です。興味深い出題ですが、試験場では苦労させられそうです。
素数のうちで偶数であるのは2のみであるという事実は当たり前のようですが、本問ではこのことが解法のキーとなります。初見で手がつかなかった受験生は、これをヒントに、もう一度取り組んでみると良い練習になるでしょう。

(1)

aとbはいずれも2より大きい素数で、それらの差も素数になっているという条件から、どのようなことが分かるでしょうか?
前述の通り、2より大きい素数はすべて奇数ですから、aとbはいずれも奇数であり、その差は偶数です。そして、この差も素数であるということから、その値は、偶数で唯一の素数である2でしかあり得ません。

(2)

cとdはいずれも素数で、今度はその和も素数になっています。
仮にcとdがいずれも3以上の素数であったとすると、どちらの値も奇数ですから、その和は偶数になります。偶数の素数は2のみですから、この場合にcとdの和が素数になることはありません。
以上のことから、cとdのうち小さい方であるdの値は2であることが分かります。
あとは、50以下の素数のうちでd=2との和もまた素数になっているようなものがcとして考えられるものになりますので、丁寧に調べ上げましょう。
(c,d)の形で書き出すと、(3,2) (5,2) (11,2) (17,2) (29,2) (41,2)が見つかりますので、それぞれの組の和である5,7,13,19,31,43が答となります。

(3)

(1)の結果から、aとbは差が2である素数の組ですから、こちらも丁寧に調べることにより、(a,b)の形で書き出すと、(5,3)(7,5)(13,11)(19,17)(31,29)(43,41)が見つかります。
これらと(2)で書き出した(c,d)の組を組み合わせて4数の和が43になるものをすべて答えれば正解となります。

7 規則性

「合否を分けた一題」として後述します。

合否を分けた一題

例年通り、大変基本的な問題からしっかりとした思考力や調べる力が求められる問題まで、バランス良く配置されたセットです。
学校発表の受験者平均点は56.7点、合格者平均点は68.1点。完答が困難なほどの難問はありませんが、桐朋中学校を目指す受験生の間で適度に差がつく難易度設定になっています。

合否を分けた一題としては、大問7を取り上げます。

7 規則性

題意を素早く理解した上で、完答のためには丁寧な調べ上げが必要です。かといって、仕組みを理解できれば極端な難問というわけでもなく、試験場で大きく差のつくタイプの出題でした。

0~9までのAの桁の数値に対して、それぞれBの桁の数値がいくつになるのかを求めて表に整理しておくことが、見通しよく解ききるための鍵です。
例えばAのある桁の数字が4のとき、その2倍である8だけダイヤルを回すということは、4+8=12の1の位である2が対応するBの桁の値であるということです。
「元の数にその2倍を加えた数の1の位」とは、「元の数の3倍の1の位」と同じことだと気がつけると、表に整理する作業の時間が短縮できたでしょう。
ともあれ、調べると下の表のようになります。

A 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
B 0 3 6 9 2 5 8 1 4 7

以下、この表を参考にしながら解き進めると良いでしょう。

(1)

Bの3,4,5,7に対応するAの値を表から書き並べればおしまいです。A=1859

(2)

最も大きなAを求めるので、まずはAの千の位(ア)を9であると仮定してみましょう。
上の表からBの千の位(イ)は7であり、これはAの百の位にもなっています。
すると、やはり表からBの百の位(ウ)が1であることが分かり、これはAの十の位でもあります。
さらに、表からBの十の位(エ)=3であり、これはAの一の位でもあります。Aの一の位が3であることからBの一の位(ア)=9でなくてはなりませんが、これは最初にAの千の位を9と仮定したことと矛盾しませんので、最も大きいA=9713であることが分かりました。
同じようにAの千の位(ア)を8とし、イ→ウ→エの順にいもづる式に求めていくことで、2番目に大きいAの値も求められます。

(3)

一の位から考えます。
AとBを加えて一の位が2になるような組み合わせを表から探すと、
(Aの一の位,Bの一の位)=(3,9)または(8,4)の2組が見つかり、これらの和はいずれも12です。
次に、十の位について考えましょう。A+B=5532の十の位の数字は3ですが、一の位からの繰り上がりに注意すると、Aの十の位とBの十の位の和はやはり12であることが分かりますので、(Aの十の位,Bの十の位)=(3,9)または(8,4)です。
やはり繰り上がりに注意して百の位を考えると、Aの百の位とBの百の位の和は4か14であることになりますが、4であるときには、千の位として適当な数字の組が存在しません。
(Aの百の位,Bの百の位)=(6,8)であることが分かります。
最後に、Aの千の位とBの千の位の和は4でなくてはなりませんので、そのような組み合わせは(Aの千の位,Bの千の位)=(1,3)のみであることが分かりました。
以上の結果をまとめると、Aとして考えられる数は、1633,1638,1683,1688の4つです。

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