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算数の合否を分けた一題

筑波附属中入試対策・算数の合否を分けた一題(2018年度)

難易度分類

(1)A  (2)B  (3)A  (4)B (5)A  (6)B  (7)A 
A
A
(1)A  (2)A
(1)※全員正解 (2)A
B
A
B
(1)A  (2)A
10 A
11 (1)A  (2)C

※問題に不備があったため

A…筑波大附属中合格を目指すなら、確実に得点したい問題
B…知識、解法次第で、得点に大きく差がつく問題
C…難度、処理量から判断して、得点差がつかない問題

平成30年度 出題総評

問題のエッセンスを瞬時に見抜き、即答していくことが求められるのが筑附の特徴です。算数の一問一答問題と言ってもよいでしょう。細部にこだわりすぎると痛い目に合います。大きな作りを瞬時に見極めていけるよう、反射神経に磨きをかけていきましょう。

問題別寸評

(1)

小数か分数にそろえて素早く計算しましょう。

(2)

分数の「余りつき割り算」です。小数なら機械的に筆算するだけですが、分数では筆算ができません。
余り=割られる数 - 割る数 × 商
の関係を利用しましょう。

(3)

倍数算の典型題。すぐに消去算に持ち込めるでしょうか。

(4)

筑附ではおなじみの分数・小数問題です。
「8と1の数字がくり返される」の部分にとらわれてはいけません。
0.81818181… = 0.8 + 0.01818181…と分解し、後ろの0.01818181…が与えられた2/11の1/10倍であることをつかめば終了です。

(5)

前半・後半の速さ(km/分)はそれぞれ20/125、10/50と表せます。

(6)

3つの図を順にア、イ、ウとすると、
アとウを比較→ A > B
イとウを比較→ B > C
イより、    D > A
がわかります。瞬時に答えを出すことは難しいので、まずはとばした方がよい問題です。

(7)

直角二等辺三角形の定番問題です。訓練されていれば、問題を見た瞬間に45°がわかるでしょう。

2 割合

円グラフが2個出てきます。小学校のテスト問題にありそうな雰囲気ですが、要素が多いので翻弄されないように。
Aの魚の数は、250 × 0.06 / 1 =15匹。
全体の魚の数は 15 ÷ 0.2 =75匹です。
これに5匹を加えた80匹を、3:2:5に分ける。
状況をよく見極めて、ここまで瞬時に持ってきましょう。

3立体

小立方体の集合を考え、表面に色を塗る問題です。
1面だけ塗られた立方体…塗られる「1面」がどんな場所に存在できるかを考えましょう。
見取り図中の、向かって右奥、左奥、下の3面上で、外周部分に触れていない正方形
がその条件となります。丁寧に作図して各面に
1 +2 +3 +4 =10 個ずつあり、互いに重複がないことを確かめて終了です。

4速さ
(1)

1回目は30㎝ の出会い。その次は1往復=60㎝ の出会いとなっています。
かかる時間が1:2なので、合計時間の3が、30秒にあたります。
よってア=10秒。

(2)

グラフから、18秒後に、速い方が折り返しています。10秒で出会って8秒で反対側に到達したことから、2点の速さ比が5:4と求められます。かかった時間は速さの逆比4:5ですから、遅い方が反対側に行く時間は、18 × 5/4 =22.5秒ということになります。

5平面図形

【注意】(1)は不備ありとして、全員正解の扱いとなりました。

(1)

まわりの長さですが、辺どうしの角度が45°になるように置くと、無理数が出てしまいます。

(2)

答えが出る、ということは、図形を置く向きによらず一定の答えになることを意味します。訓練を積んでいれば、自分に都合よくきれいに並べることを考えて答えを出すことができるでしょう。

正面図、真上図の線分の端点は、平面視しているので、手前か奥かがわかりません、端点の存在できる範囲の線分を見取り図中に計4本書き込むと、共通部分が2点決まります。それが棒の両端の点です。

単独の平行四辺形であれば、対角線の交点を通る直線で2等分できると容易にわかるでしょう。
与えられた図形は1本線を引くと、2つの平行四辺形に分けられます。それぞれの対角線の交点を通る直線を考えればよいので、図形を二つの平行四辺形に分割する線とそれぞれ2本の対角線を引いてあれば、作図に必要な線が総てそろいます。

【合否を分けた一題】で取り上げます。

9 立体図形 容器内の水の底面変化

柱体高さ一定の条件で変形しているので、底面積も一定、すなわち
等積変形
となっています。余計なことを考えず、直感で処理できてしまいそうです。

(1)

高さ一定の台形なので、上底 + 下底 の長さが一定となります。

(2)

面積一定の三角形です。底辺 × 高さが一定となります。

10 立体図形 正八面体

①見取り図(図1)の各頂点にアルファベットを書いて名前をつける
②その頂点を展開図中に書き込む
という手順で、指定の三角形に入る数字も向きも自動的に決まります。
立方体では定石ですが、正八面体でも同様に瞬時に処理できるでしょうか。

11 平均
(1)

定食の種類、ごはん大盛りの有無、サラダの有無の順に考えて
3 × 2 × 2 = 12通りとなります。
11
A定食を注文した人の支払金額は、
350円、400円、470円、520円 の4通りです。
このうち、400円、470円はB定食の注文者も含まれることに注意して、下表の( ア )( イ )を決めていきます。

350円 400円 470円 520円
A 5人 ( ア ) 5人 ( イ )
B × 6人 ×

( ア )は問題文の表より、14 - 6 = 8人とわかります。あとは、平均金額=417円となるように( イ )を決めればよいので、350円、400円、470円の注文者の平均金額=7300/18円、と520円の注文者の平均金額=520円との加重平均が417円になればよいので、天秤図か面積図でねじ伏せます。与えられた条件に無駄はないので、迷う余地は少ないのですが、それでも絶対的に手数がかかりそうで、回避してもダメージは小さいでしょう。合否に影響するような差はつかない可能性が高いです。

合否を分けた1題

8を取り上げます。
半円が3本の直線によって分割される区画の数をa、そのうち直径の線を含む区画の個数をbとします。
紙を広げると、3直線と直径の線で、円がa×2個の区画に分かれます。ところが直径の線は実際には切れていないので、a×2 個に切り分けたうち、b個の切り口を貼り合わせると考えることができます。このとき区画の数は、a×2 -b と表すことができます。8個の区画に分かれるときを考えるので、
a×2 -b = 8 を満たす(a, b)を求ます。b=偶数に注意して、図を描きながら調べると、
(a, b)=(5, 2),(6, 4)の2パターンを見つけることができます。

たとえば十分な時間があり、すべて求めよという設定であれば、難関私立中向けの大問で扱ってもおかしくない問題です。ところがタイムアタック形式の筑附では上記のような解法は不可能です。
反射的に何本か線を引き、短時間の試行錯誤の中で1パターンを発見する、という方法しかないでしょう。
条件を満たす切り方を1つ選べばよいので、運がよければ一発目で答えが見つかる可能性がある一方、泥沼にはまってしまう危険もある問題です。
1題のみで合否が決まるセットではありませんが、だめなら潔くパスする勇気が大切。絶対回避すべきなのは時間の浪費です。
大問8はそういう筑附のスリリングなセットを象徴していると言えるでしょう。

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