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算数の合否を分けた一題

早稲田中入試対策・算数の合否を分けた一題(2015年度)

難易度分類

[1] (1)A (2)A (3)A
[2] (1)A (2)A (3)B
[3] (1)A (2)B (3)C
[4] (1)A (2)B (3)B
[5] (1)A (2)B (3)B

A…早稲田中合格を目指すなら、確実に得点したい問題
B…知識、解法次第で、得点に大きく差がつく問題
C…難易度、処理量から判断して、後回しにして良い問題

平成27年度 問題別寸評

[1]小問集合

確実に。

(1)割合と集合に関する基本的な問題です。割合を表す数の基準をそろえて整理して解きましょう。

(2)数に関する問題です。3けたの数をA ×10 + B(ただしAは2桁の数、Bは1桁の数)とおいて、Bが5以上のとき、Bが4以下のとき、それぞれについて考えてみましょう。

(3)それぞれの情報から絞り込まれる選択肢をトーナメント表に書き込んでいき、情報が多いところ=選択肢が少ないところを探していきましょう。
2択まで絞り込めたなら、両方試してみれば必ずどちらかは答えになっているのですからしめたものです。推理の問題は1つがはっきりと決まってしまえばあとは芋づる式に解けていきます。

[2]図形の小問

工夫が問われます。

(1)円の転がりですが、要は割合の問題です。大円のAからBまでの弧の長さが小円の周りの長さ1周分になっているのですから、大円の弧ABの中心角(40°+110°)が小円の360°に対応していますね。

(2)区切られたパーツを組み合わせて、「シンプルな形(基本形)」を作り出して整理しましょう。「あ+お+う」は長方形の3分の1の面積をもつ三角形。「い+お+え」は長方形の2分の1の面積をもつ三角形になっています。この2つの三角形の面積をあわせてみると、(あ+お+う)+(い+お+え)すなわち、(あ+い+う+え)+お+お となります。

(3)中点を通るタイプなら簡単に解ける受験生は多いでしょうが、それを応用できたでしょうか。切り取られた平面を広げると三角すいが浮かび上がります。今回は上だけではなく横も切れた三角すいです。比を活用して計算を楽に済ませましょう。

[3]5進数の問題

(1)は5進数の444が何番目の数であるか、つまり10進数でいくつを表しているかを求めるだけですから確実に正解しましょう。

(2)数字の「4」の数も工夫して数え上げれば正解するのは難しくありません。
 0  1  2  3  4
10 11 12 13 14
20 ・ ・ ・
このように、5進数ならば5列の数表をイメージすると整理しやすいでしょう。

(3)3の倍数がどのように現れるのか、規則性が見つけ出せない、あるいは勘違いしてしまった受験生も多いのではないでしょうか。
先ほどの数表で調べ上げていくと、行を下るごとに1列ずつずれていくきれいな規則性があるように見えます。しかしながら、2桁から3桁に変わる行では、その規則性が崩れるので注意が必要です。
 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
20 21・ ・ ・
のように、まず10進数表をイメージして、その中の3の倍数の並びをチェックしたうえで、今回の5進数表がその1部分になっていることを利用して工夫して数えるとうまくいくはずです。

[4]流水算

流水算ですが、途中でエンジンが故障します。これをスムーズに処理できたでしょうか。
(1)分かっている情報を丁寧に整理してみると、AB間の上りにかかった時間(故障して戻った時間も含む)、BC間を往復する時間(10分の休憩を含む)、BA間を下る時間が分かっています。ここでABとBCの距離が等しいのですから、BC間片道の時間とBA間の下りの時間から、静水時の船の速さと下りの船の速さの比が求められますから、ここから上りの船の速さの比もわかります。

(2)うっかり、実際にかかった時間と故障がなかったときの時間の差を答えにしてしまわないように。故障して戻された場合、故障が直ってから戻され始めた「元の地点」に戻るまでの時間もロスした時間に含まれますから、所要時間の差には、流された時間(故障していた時間)と元の地点に復帰するまでの時間の2種類が含まれています。流されるのも戻るのも、「同じ距離」であることに注目して、速さの比を利用してかかる時間の比を求め、答え導きます。

(3)旅人算です。速さの比から、2そう目のボートがB地点に到達するのは出発して20分後の10:05、その時にはじめのボートは既にB地点を越えていますから、2つのボートがすれ違うのはAB間であることがわかります。速さの比がわかっていて、2者が向かい合わせに、一方は9:45に、他方は9:55に出発してそれぞれ速さを変えずに進む場面ですからAB間をどのような比に分ける地点で出会うかを求めましょう。

[5]水量変化とグラフの問題

(1)2つの置き方は、あふれ出す時間が変わらないことから、石が容器にすっぽりおさまっていることが分かりますので、10分33秒で石の体積+水の体積が容器の容積と一致したことになります。毎分800c㎥ですから、水を入れた時間から水の体積が分かります。

(2)1つの置き方だけ水があふれ出す時間が異なるのは、石が水そうからはみ出していたからだ、ということに気付けると、その、はみ出している部分の体積が、かかった時間の差に対応することもわかります。(1)で求めた石全体の体積と、はみ出した部分の体積の関係から容器の中の部分と容器から出た部分の高さの比が分かります。

(3)合否を分けた1題として扱います。

合否を分けた1題

早稲田中学では一つ一つの問題には実は特別な「ワザ」は必要ないことも珍しくありませんが、柔軟な発想と着眼点の工夫が要求されます。

グラフのaとbの差が与えられました。これが何を意味するのか。
石がすっぽり水に沈むまでの時間の差です。

ところでこの問題では、容器の底面積は既に分かっており、1分あたりの水量も与えられているので、石がなければ1分ごとに何cm水位が上がるかが分かっています。

ここで逆転の発想。石がすっぽり水に沈むまでの時間の差は、そのあと満水になるまでの時間の差でもあります。石が沈んだ後は、石の影響はありませんから、容器の底面積そのままで水位の上昇を考えられます。

したがって、石Pの短い辺と真ん中の辺との長さの差が
1.25cm/分 × 5分36秒で 7cmと分かります。

また(2)を解く際に求めた石の体積と高さの関係から、短い辺と真ん中の辺で作られる長方形の面積は60㎠であることも分かります。

2つの辺は、A×B=60、A−B=7を満たすような関係にあるA、Bですから、
B×(B+7)=60と読み替え、60を分解してみると、5×12の時、
すなわちB=5があてはまることが分かります。

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