算数の合否を分けた一題（2011年度）

算数の合否を分けた一題

武蔵中入試対策・算数の合否を分けた一題（2011年度）（2ページ目）

［３］１、２、３、・・・、１７６の１７６枚のカードが、上からこの順になるように重ねてあります。一番上のカードを一番下に移し、見えたカードを一枚取り除きます。これをカードが最後の一枚になるまでくり返します。１回目は１を一番下に移し、２を取り除きます。２回目は３を一番下に移し、４を取り除きます。次の問に答えなさい。
［１回目］　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［２回目］

一番下へ→	１		２	←取り除く
	２		３
	・		・
	・	⇒	・
	・		・
	・		・
	176		１

一番下へ→	３		４	←取り除く
	４		５
	・		・
	・	⇒	・
	・		176
	176		１
	１		３

（１）偶数が書かれたカードが全部取り除かれるのは何回目ですか。
（２）１００回目に取り除かれるカードに書かれてある数は何ですか。
（３）最後の一枚のカードに書かれてある数は何ですか。

上位生は必ず学習する「継子立て」です。２００９年度（Ｈ２１年度）の開成中［４］で出題されたため、どの塾でも演習を積んでいたはず。（１）（２）は「継子立て」を知っていなくても解けるでしょう。知っていないと解けない（３）がカギです。

（１）　１回目から順に偶数のカードが取り除かれる
偶数のカードは全部で　１７６÷２＝８８枚　あるので　８８回目

（２）８８回目で偶数が全部取り除かれるので、奇数が１から順に残っている
取り除く回数はあと　１００－８８＝１２回
取り除いた数は　３、７、１１、・・・、［　　］　と等差数列になっているので
この数列の１２番目の数を求めればよい
［　　］＝３＋４×（１２－１）＝４７

（３）全体の枚数がさほど大きな数でもないので、偶数を取り除いたあとの８９回目から根性
で書き出す方法でも正答にたどり着けるでしょう。ただ、それでは時間がかかりすぎます。また、２００９年度（Ｈ２１年度）開成中［４］（５）のように全体の枚数を受験年度の西暦にして出題されると、とても書き出しでは対応できません。ここは規則性を利用して短時間で処理したいところです。

「継子立て」で最後に残るカードについての規則性
「カードの枚数が２の累乗数（２を何回かかけてできる数のこと）のとき、最後に残るカードは最初に取り除いたカードのひとつ前」

１７６より小さく、１７６に最も近い２の累乗数は、２×２×２×２×２×２×２＝１２８
全体の枚数が１２８枚のときに規則性が利用できるので
まず　１７６－１２８＝４８枚　取り除き、そこから新たなスタートと考えればよい

４８枚目に取り除く数は２×４８＝９６
ここから新たなスタートとして、最初に取り除く数は９８なので、最後に残る数は９７

「【２】算数合格戦略の提案　〔３〕発想力・思考力問題の攻略法」で述べたように、「完璧な理解」が伴わない限り、知識・解法を武蔵中の算数で運用することは難しいでしょう。

今年度の［３］（３）がまさにそのタイプの問題です。正答できたのは、「継子立て」を完璧に理解して知識として取り込んでいた受験生、１周ごとに区切って取り除く数を調べていった受験生、書き出した受験生、といったところでしょうか。今年度の入試は［４］に十分な時間が確保できたかがポイントなので、この［３］（３）を短時間で正答できた受験生は有利に働いたはず

。ここで時間を浪費せずに、「授業で解いたけど、しっかり覚えていないから無理」と潔くとばして［４］に時間を充てるという選択も、現場での良い判断だったと言えるでしょう。