算数の合否を分けた一題（2014年度）

算数の合否を分けた一題

慶應中等部入試対策・算数の合否を分けた一題（2014年度）

難易度分類

［１］	（１）Ａ　（２）Ａ　（３）Ａ　（４）Ａ
［２］	（１）Ａ　（２）Ａ　（３）Ａ　（４）Ｂ
［３］	（１）Ａ　（２）B　（３）Ａ　（４）Ａ
［４］	（１）Ａ　（２）Ｂ
［５］	（１）Ａ　（２）B
［６］	（１）Ａ　（２）Ｂ
［７］	（１）Ａ　（２）Ｂ

Ａ：中等部合格を目指すなら必ず得点したい問題
Ｂ：着眼点や解法ツールにより正答率・所要時間に差がつく問題
Ｃ：難易度や処理量から判断して、３分以内に解き切る腕力がなければ一旦とばすべき問題

２０１２年度・２０１３年度と２年連続で大問６・７に中等部らしからぬ難問が配置されていましたが、２０１４年度は難問の出題はなく、とても解きやすいセットです。ただ、４５分で２０問、捨て問なしで解き切るには、相応の処理速度が求められます。

以下、各問の内容について見ていきましょう。

［１］小問集合

（１）

順算の計算問題。何の変哲もありません。

（２）

逆算の計算問題。こちらも前問同様、何の変哲もありません。自分の答えを□にあてはめて、答えが１になるかの検算を即座に行いましょう。

（３）

食塩水。食塩の量を追ってもよし、面積図またはてんびんで解いてもよし。

（４）

でわっても、をかけても整数になる最小の分数を求める問題。解いたことがない受験生は皆無でしょう。

［２］小問集合

（１）

１０円玉・５０円玉・１００円玉の枚数の比と合計金額から５０円玉の枚数を求める問題。比を学習したての頃にテキストの例題として収録される典型題。

（２）

距離一定で時間は速さの逆比を利用する問題。時間の比と時間の差に注目です。

（３）

四捨五入して百の位までの概数にした２つの整数の最大差を求める問題。十の位で四捨五入して２８００と１３００になる整数の範囲を正しく求めましょう。それぞれ、２７５０以上２８４９以下、１２５０以上１３４９以下となります。

（４）

２で４回だけわりきれる３桁の整数の個数を求める問題。１６×□と表すことができ、□には２と互いに素である数、つまり奇数が入ることに考えが至るかどうかです。□に入る数は７～６１の奇数なので、２８個と求まります。この問題は差がついたでしょう。

［３］図形の小問集合

（１）

水が入った直方体の容器に立方体を２個沈めたときのあふれた水量を求める問題。単位換算を忘れずに。

ここから３問、平面図形が続きます。

（２）

正方形の中に半円と四分円が描かれた図形の角度の問題。適切な補助線が引けるかがポイントです。

（３）

８個の同じ直角三角形を並べてできた正方形の中にある小さい正方形の面積を求める問題。直角三角形の周りの長さが２６ｃｍ、最長辺の長さが１２ｃｍであることから、残りの２辺の長さの和は１４ｃｍとなり、それが外側の最も大きな正方形の１辺の長さにあたることに気づくかどうかです。

（４）

中心角１５０度のおうぎ形から三角形を除いた図形の面積を求める問題。「円の中心と円周上の点を結ぶ」という円・おうぎ形の補助線の定石が身についているか、「３０度・６０度・９０度の三角定規の２辺比は１：２」という知識を使いこなせるかが問われます。・・・などと言うと難しそうですが、受験生なら誰もが解いた経験を持つ超典型題です。

［４］

周期の問題。ランプの点滅がお馴染みですね。本問は噴水ですが、考え方はランプと同様です。
設問（１）はＡ９０秒周期とＢ１５０秒周期の最小公倍数が答え。
設問（２）は、４５０秒周期のうち同時に噴き出している時間を書き出して丁寧に調べ上げる必要があります。ここをミスなく処理して１６０秒と求められれば、あとは大丈夫でしょう。

［５］

点と点を結ぶ直線の引き方を考える場合の数の問題。のちほど詳述します。

［６］

２つの貯水槽の水の出し入れに関するグラフの問題。設問（２）は複数の解法が考えられますが、どのような解法をとるにしても、まずはＡに３度目の補給が始まるまでグラフを描き加えるることです。グラフを見て全体を把握してからは、ＡとＢの旅人算で解いても構いませんし、グラフの中の相似な三角形を利用して解いても構いません。

［７］

高さが同じで、半径を１ｃｍずつ短くした円柱を重ねてできる立体の表面積の問題。何個重ねても、立体の上下の面積は変わらないのがポイントです。設問（２）では粘り強く計算して半径５ｃｍの円柱まで重ねたときと求めたにもかかわらず、Ａを個数に含めてしまい１６個と誤答しないよう注意しましょう。

では、２０１４年度の合否を分けた一題として、大問［５］を取り上げます。

［５］

図のように、５つの点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅのうちの３点と３つの点Ｆ，Ｇ，Ｈのいずれかを結ぶまっすぐな線を３本ひきます。ただし、１つの点と２つ以上の点を結ぶことはできません。次の［　　　］に適当な数を入れなさい。

（１）３本の線のひき方は全部で［　　　］本あります。
（２）結んだ３本の線のうち、少なくとも２本が交わるような線のひき方は
　　　全部で［　　　］通りあります。

（１）３本の線をひくので、下の３点Ｆ・Ｇ・Ｈは必ず含まれます。

Ｆからのひき方がＡ～Ｅの５通り
Ｇからのひき方がＦと結んだ点以外の４通り
Ｈからのひき方がＦ・Ｇと結んだ点以外の３通り

よって、５ × ４ × ３＝　６０　通り

（２）少なくとも２本が交わるような線のひき方を直接求めようとしたらアウトです。３本とも交わらないひき方が何通りあるかを求めて、（１）で求めたすべての選び方６０通りから除く方法をとれば、最も所要時間が少なくて済みます。

３本とも交わらないひき方は樹形図で書き出しても、計算で求めても構いません。
ここでは計算で求めてみましょう。

上の５つの点から
Ａ・Ｂ・Ｃを選んだとき、３本とも交わらないひき方はＡＦ・ＢＧ・ＣＨの１通り
Ａ・Ｂ・Ｄを選んだとき、３本とも交わらないひき方はＡＦ・ＢＧ・ＤＨの１通り
Ａ・Ｂ・Ｅを選んだとき、３本とも交わらないひき方はＡＦ・ＢＧ・ＥＨの１通り
Ａ・Ｃ・Ｄを選んだとき、３本とも交わらないひき方はＡＦ・ＣＧ・ＤＨの１通り
　　　　　　　・・・・・
　　　　　　　・・・・・

このように、上の５点から含める３点を決めれば、３本とも交わらないひき方は１通りに決まります。

よって、３本とも交わらないひき方は、５つの点から３つの点を選ぶときの選び方と同じで
　　　＝１０通り