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算数の合否を分けた一題

桐朋中入試対策・算数の合否を分けた一題(2017年度)

難易度分類

(1) A (2) A (3) A
(1) A (2) A (3) C 
(1) A (2) B
(1) A (2) B (3) B
(1) A (2) B 
(1) B (2) B (3) C
(1) A (2) ① A ② B ③ C

[1](1)A (2)A (3)A
[2](1)A (2)A (3)B
[3](1)A (2)A (3)B 
[4](1)A (2)B
[5](1)A (2)C
[6](1)A (2)B  (3)C
[7](1)A (2)A (3)B (4)C

A…桐朋中を目指すなら、確実に得点したい問題
B…知識・解法次第で得点に大きく差がつく問題
C…難易度・処理量から判断して、部分点を拾えれば良しとする問題

問題別寸評

(1)(2)(3)いずれも、基本的な計算問題です。ケアレスミスに十分に気を付け、確実に得点しなければならないところです。

小問集合
(1)2日目は「残り」の7分の4であることに注意しましょう。
(2) 現在の年齢の和は4年後よりも8才若いので、72才、差は8才ですから和差算で求められます。
(3)正三角形の3本の辺の和と正六角形の6本の辺の和の比が2:1になっているのですから、1辺の比は3分の2:6分の1=4:1となります。
ゆえに、正六角形を6等分した小さな正三角形と、大きな正三角形の面積比は4×4:1×1
六角形はこの1の面積の三角形6個分ですから
16:6=8:3だとわかります。

速さと比の問題
 同じ時間ですすむ距離は、「速さの比」と比例することを利用して考えます。
(1)速さの比が1:6と分かっているので、Aくんが15分すすんだときに電車が出発すると、あと3分すすんだときに追いつかれます。
(2)Aくんは15+3+3分でQ駅につきます。
(3)PQ間の道のりを求めれば電車がQ駅に到着する時刻が分かりますから、あとは、その時刻につくような「時間」でAくんが駅に着けば良いということが分かります。「途中で速さを変えて進む」はつるかめ算のパターンですね。

平面図形と比
 (1)三角形CFCのDCが6cmと分かるのですからFCは□×6÷2=20で求められます。BCからFCを引いたものがBFです。

(2)点EがAにある場合の三角形AFDの面積は24㎠、点EがBにある場合の三角形BFDの面積は4㎠。ところで、実際の三角形DEFの面積は16㎠ですから、点Eの位置はAB間を(24-16):(16-4)すなわち2:3に分けるポイントだと分かります。
これによってAEの長さが分かればAEDの面積は求められます。

比の文章題
(1)もともと同じ個数の状態から、Aが②、Bが③になったその差の①はAがBとCにあげた❷とBがAからもらった❶によってできていますから、①=❸という関係が分かります。
したがって、Aに入っているボールの個数を❻、AからBに移したボールの個数を❶と表現できますから、6倍だと分かります。

(2)後述の合否を分けた1題 参照

図形と調べ上げ

数の性質
(1)12の約数の個数と、それを小さい順に並べたときの奇数番目の数すなわち、1・3・6をかけ合わせた18が分子、偶数番目の数である2・4・12の積96を分母とした分数を約分しきった16分の3を答えます。
(2)81の場合、分子に1・9・81、分母に3・27ですから分数は9となります。
(3)約数が7個ということは、素因数分解するとa×a×a×a×a×a(aは素数)と表される数になります。この約数は順に、1、a、aの2乗、aの3乗・・・、aの6乗となりますから
bの値は、aの3乗に当たります。これが8ですから、a=2、もとの整数は2の6乗だと分かります。
(4)約数の個数が4個ということから、素因数分解した形がa×a×a(aは素数)または、
a×c(a・cは素数)ということが分かります。
前者の場合、bの値はaの2乗分の1となるので、a=5だと分かります。
後者の場合は、約数が1、a、c、a×cの4つで、a < cとすると、bの値はやはりaの2乗分の1となり、a=5となります。ここで、cはaより大きな任意の素数に設定できますので、
a(5)×cが3けたになるもののうち、小さい方から順に考えると、c=23、c=29が該当します。

合否を分けた一題

比の文章題
(2)やりとりが続くとき、どこに手がかりがあるのかを探るために情報をできるだけシンプルに整理しておきましょう。スタートの段階でA:B:Cは2:3:3になっています。
それが、最終的に4:5:4になったのですが、ABCの中でのやりとりなので、合計個数は変化していないはずです。したがって、合計を表す比をそろえてみましょう。
2+3+3=8
4+5+4=13
最小公倍数の104にそろえると
初めの個数の比は
26:39:39
ここからやり取りを経て
32:40:32になったということです。
ここで、AとCの差が13から8へ縮まったのは
Bが10個減り、Aが5個増えたことが原因です。
したがって、比の5が15個に当たるとわかりますので、ボールの合計個数は
104×3=312個だと求められます。

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