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算数の合否を分けた一題

東海入試対策・算数の合否を分けた一題(2017年度)

難易度分類

(1)A (2)A (3)A
(1)A (2)B (3)B 
(1)A (2)A 
A
(1)A (2)C
(1)B (2)B 
(1)A (2)A (3)A 
(1)B (2)C 

A:東海中合格を目指すなら必ず得点したい問題
B:着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
C:難易度や処理量から判断して、部分点を狙ったりとばすべき問題

出題総評

大問1は計算1問を含む小問集合、大問2は立体図形の問題、大問3は速さの問題、大問4は平面図形の問題、大問5は色の塗られた表面について考えていく立体図形の問題、大問6は相似を活用する平面図形の問題、大問7は推理の問題、大問8は数列を使った規則性の問題でした。

問題別寸評

[1]
(1)

 
分数と小数が入り混じった計算問題。特に計算の工夫もないので、落ち着いて答えを求めるように。0.75は、瞬時に分数に変換できるようにしておきましょう。

(2)

 
一の位に着目します。同じ数をかけて9になるので、3か7が考えられます。その後はそれぞれ逆算をすれば答えが出せます。

(3)

倍数算の典型題で、白と赤のおはじきの個数の増減について、比を使った式にしてから考えます。本校の受験生は、この問題も含めて大問1は落とせません。

[2]

底面の形が正六角形のものと正三角形のものである柱体同士を組み合わせた立体の問題。

(1)

 
高さ比は与えられているので、それぞれの底面積を考えます。図2の正六角形を24分割して考えると良いでしょう。正六角形:正三角形=24:9となり、答えが導けます。

(2)

 
底面が正六角形の柱体の高さ2cm分の体積(計算で求まります)=(さかさまにしたので)正六角形から正三角形の底面積を引いて、それに三角柱の高さをかけた体積と捉えます。

(3)

 
水が入っている部分の底面積は、正六角形の半分と、正三角形を9分割したうちの4個分です。後は、それぞれの高さを考えれば答えが出せます。

[3]

2人の追い抜きが絡む旅人算の問題。当然ですが、線分図は描いて情況をしっかりと把握するように。

(1)

 
両者の速さの比が5:4なので、それを距離比として考えると、問題文3~4行目の条件から答えが導けます。
 

(2)

 
問題文の冒頭3行目までから、まずは弟が家を出る時刻を求めます。途中から速さを変えたので、速さのつるかめ算として処理します。

[4]

正方形内部に線を引き、中心の正八角形を求めるという典型的な平面図形の問題。正八角形を8つの三角形にわけ、その三角形3つ分が1cm×2cm÷2=1㎠として考えていきます。本校の受験生はこの問題も欠かせません。

[5]

後半に差し掛かりますが、ここから難易度がグッと上がる問題も増えてきます。立方体をたくさん重ね、表面に色を塗ってバラバラにするという問題。

(1)

 
80個ということは、2×2×20か4×4×5が考えられますが、前者は色がぬられていない立方体が発生しなくなるので誤り。したがって、4×4×5となり、後は最奥にある個数を計算して求めます。

(2)

少し処理に厄介な問題。まずは160個すべての立方体を、1面が塗られているもの、2面が塗られているもの、3面が塗られているもの、全く塗られていないものにわけて個数を計上します。そのうえで塗られていないものが先ほどの問題の答えからわかっているので、それを(1)と同じ方法で縦の個数×横の個数×高さの個数と式にして2面が塗られているものと3面が塗られているものの個数を出します。後は、先ほどの個数と合計して答えを導きます。

[6]

直角三角形相似をうまく組み合わせて考える、平面図形の問題。詳細は、合否をわけた一題として後述いたします。

[7]

文章も長く一見問題の情況が捉えにくい問題ですが、人が並んでいる様子を点数別に並べていけば拍子抜けするレベルの推理の問題です。

(1)

 
A君は2点を取ったことが問題文から分かり、A君が真ん中ということは、前から(1+29)÷2=15人目にいるということです。点数が低い人から並べると、0点が3人、1点が6人でA君が最後に並んだわけですから2点を取った人数が出せます。

(2)

2点を取った人と4点を取った人の合計が29-(3+6+8)=12人です。下の図は、実際に全員を並ばせた様子です。
00011111122222A22233333333444
3点の人数が8人なので、本問の条件から9人以上であることが分かります。4点を取った人がいない情況まで考えると、答えが導けます。

(3)

(2)の条件の下で、4点を取った人がいないものを考えれば問題ありません。

[8]

最後の大問ということもあって、かなりの難易度です。数を渦巻き状に並べた状態をいくつか考えていく規則性の問題。数の性質の考え方も絡みます。

(1)

 
例えば、図2の場合だと1の下は18です。縦3×横8なので、1+(8-1)+(3-1)+(8-1)+(3-2)=18となります。
72までの場合で、こうなるようなものを探し出します。
72は、2×36、3×24…とたくさんありますが、その中で縦18×横4を考えてみます。40=1+(4-1)+(18-1)+(4-1)+(18-2)となりますので、後は渦巻き状に数が並ぶように図を描いていけば72の下の数が求まります。

(2)

最後に数が左から右に流れる時(図2のような状態)と右から左に流れる時(図3のような状態)が存在します。図を描くとわかりますが、前者は数が横に11+13=24個並び、縦に7×2+1=15個並びます。後者は数が横に11+12=23個並び、縦に7×2=14個並びます。

合否を分けた一題

本校の試験時間は60分と長く設定されてはいるものの、大問が8つと決して楽な試験ではなかったと言えます。特に大問5以降は、問題文も長くそれぞれの小問に手を付けづらかったことと思われます。その中で、今回は図形の問題で相似を組み合わせることがカギとなった大問6をご紹介しましょう。

[6]相似形を活用する平面図形の問題
(1)

まずは、BE:EG=1:2、EG:GC=4:3なので比を揃えるとBEは② EGは④ GCは③となります。DE=EGよりDEは④。したがって、三角形BDEは斜辺が10cm、横が②、縦が④の三角形ということです。
次に、問題文から角Bと角Cが等しく、角BEDも角FGCも直角なので三角形BDEと三角形GCFは相似であることが分かります(角度に〇や×の記号を必ず振るように)。GCは③なので、△GCFは△BDEの1.5倍の拡大図であり、FGは④×1.5=⑥、FCは10×1.5=15cmということも分かります。
さらに、DからFGに垂線を引くと、下の図のように△BDEと△DFHは合同であることも分かります。

AB=10÷2×4.5=22.5cmと求まります。
よって、ADは22.5-10=12.5cm、AFは22.5-15=7.5cmとなりますので、答えは12.5+7.5+10=30cmとなります。

答え:30cm

(2)

△ADFの面積を考えます。〇と×の角度の和は180-90=90度なので、角AFDは180-90=90度、すなわち直角です。
したがって、7.5×10÷2=37.5㎠であることが分かります。

答え:202.5㎠

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