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算数の合否を分けた一題

芝中学入試対策・算数の合否を分けた一題(2017年度)

難易度分類

(1)A  (2)A
A
B
B
(1)A  (2)B
(1)A (2)A  (3)B
(1)A (2)B (3)C
(1)A (2)B
(1)A (2)B

A:芝中合格を目指すなら必ず得点したい問題
B:着眼点や解法により正答率・かかる時間に差がつく問題
C:難易度や処理量から判断して、とばすべき問題

問題別寸評

(1)、(2)

小数と分数の四則混合計算、逆算
煩雑ではありますが、普通の計算問題です。確実に正解したいところです。

[2]

平均に関する問題
全体の平均点と、2グループの平均点の「差」
そして人数の「比」が分かっている状況ですから確実に解きこなしましょう。

[3]

速さと比
BからCまでの距離が、AからBまでの距離より5km長い、という距離の差の情報が決め手です。
距離が「同じ」部分では行きと帰りで差がつきません。
差は、5kmを「上るのか・下るのか」という違いでついたことが分かりますから
行きにかかった時間が、帰りにこの5kmを上るのにかかった時間
=5km÷10km/h=0.5時間(30分)よりも、10分短かったことが分かります。
したがって、5kmを30-10=20分で下っているので、時速15kmです。
残りの部分の「同じ距離」の往復に30分かかっていますから、
これを、かかる時間の比(2:3)に分けると、上りに18分、下りに12分かけたと分かります。
ABは、行きの上りの区間なので、18km/hで18分、すなわち18×18÷60=5.4kmです。

[4]

規則性
点の個数、使われている正方形の枚数、周りの長さを構成している辺の本数の順に
変化の様子を調べてみると
番:1→2→3 ・・・□
個:4→8→12 ・・・4×□
枚:1→3→5 ・・・1+2×(□-1)
本:4→8→12 ・・・4×□
周りの長さは、周囲の辺の本数×2㎝
面積は使われている正方形の枚数×4㎠でそれぞれ求められます。

[5]

平面図形と比

(1)

ADHの面積からADGの面積を求めます。
三角形AEHと三角形GDHの相似を利用すれば、AH:HG=2:1が分かりますから
三角形ADG=8÷2×3
DGを高さとして底辺を逆算すれば、AD=8cmと分かります。

(2)

四角形DGBEが平行四辺形ではないことに注意しましょう。
あとは台形DGBEから、三角形DHGと三角形BEFを取り除けばもとめる四角形の面積が得られます。

[6]

影に関する問題

(1)

棒の高さ:影の長さ=80cm:1m=4:5を利用します。

(2)

3mの影の長さに相当する棒の高さは2.4mですから、壁に写った2mよりもさらに2.4m高いのが棒の高さです。

(3)

3.5mの影の長さに相当する棒の高さは2.8mですから、棒の高さよりも2.8m下がった1.6mが、段差の先にある壁に写った影の、「地面からの」高さになります。
したがって影の長さの合計は3m+0.5m+1.6m=5.1mです。

[7]

場合の数
「芝アイス」が登場しました。
後述、合否を分けた一題をご参照下さい。

[8]

水量とグラフ

(1)

まずはグラフの「折れ曲がり」部分で起こっているイベントを確認しましょう。
始めは給水管Aだけで、2分で30Lの水を入れました。

また、グラフの18分から20分までの2分間が、水があふれている部分ですから
AとB合わせると2分で40Lの水が入ることが分かります。

ここから、Bは1分で5L、ABは合わせて1分で20Lの水が入ると分かりました。
この順に給水すると2分から18分までの16分で、270-30=240Lの水がたまったのですから、
つるかめ算で、それぞれの給水管を使用していた時間が分かります。

(2)

270Lたまった状態から、給水管Bはさらに6分間給水→30Lが追加
これらの水が、32-20=12分で空になったので、排水管Cは300÷12=25L/分となります。

[9]

切って開いた形
切り方だけでなく、折りたたんだ最終形に至るまでの「折り方」によって開いたときの形が変わることに注意が必要です。
開いた形から出発して、折りたたむひとステップごとに、重なった図形がどこに集約されたかを丁寧に追いましょう。
初めのひと折りで左半分に、次のひと折りで、その下半分に、次のひと折りで、さらにその左半分に、最後のひと折りで、その下半分に集められましたから、開いた形の左下16分の1の正方形に描かれる模様が図2のようになります。
あとは、折りたたんだ反対の順序で、上下に対称、左右に対称、また上下に対称、最後に左右に対称形を描き入れていくと、切って開いた形が⑥番だと分かります。
(2)も同様に、(1)で見極めた左下の16分の1の正方形に追加の切れ目を入れ、全体に展開していきます。
すると、正方形から小さな正方形をくりぬいた、面積6㎠の図形が5個できます。
また、面積が2分の3㎠の図形は、四隅に4個できることがわかります。

合否を分けた一題

芝中学は思考力を問う問題を好んで出題してきます。単純に、この問題はこう処理する、と決まったパターンに当てはめて解ける問題ではない場合、どうアプローチするか。この「思考力」への対策が合否を分けるといえるでしょう。ここでは、思考力を鍛えるための3つの観点に注目してみましょう。①情報を整理する力、②細かい要素に分解する力、③基本形を発見する力、の3つです。

[7]は場合の数の問題でした。
味が3種類、重ね方は「最大」4つというのがポイントで、1つや2つという可能性もある、という場面です。
思考をシンプルにするためにうまく「場合分け」ができるかどうかが鍵を握ります。
(1)では全部で何通りのアイスができるかを問うています。
同じ味が複数あっても良いということですから、「何段重ねにするか」に着目して場合分けをしていきましょう。
1段のとき・・・3種類
2段のとき・・・1段目3通り×2段目3通りの9種類
3段のとき・・・3×3×3=27種類
4段のとき・・・3×3×3×3=81種類
これらをすべて足し合わせます。4段のとき「だけ」で考えてしまわないように注意が必要です。

(2)味が3種類のアイスは(1)の3段のときと4段のときに登場します。
その中で、3段の場合は重複が一切なければよいのですから、
1段目3通り×2段目2通り×3段目1通りの6種類

4段の場合、1段目、2段目までは何味でも大丈夫です。
残りの2段ですが、1・2段目が異なる味のときは3通り、1・2段目が同じ味のときは、まだ使っていない2通りだけが選べます。ここは樹形図を書いて考えるのが安全です。
書き出してみると36通り存在することが分かります。

(3)味が2種類の芝アイスは2段、3段、4段で登場します。
2段のときは
1段目3通り、2段目2通りの6種類
3段のときは
1段目3通り、2段目3通り、3段目2通り(1段目・2段目のどちらかの味または1・2段目が同じ味のときはそこで使っていない味)の18種類
4段のときは
1段目3通り、2段目3通り、とここまでは同じですが、3段目は1段・2段が同じ味のときは3通り、1・2段目が異なる味のときは2通りと変化します。そして4段目は先ほどと同様に、それまでに使った2通りのどちらかの味、または1・2・3段目がすべて同じ味のときはそこで使っていない味のやはり2通りがあります。
したがって、3×3×2×2 に3段まで同じ味の場合の3×2通りを加えた42種類ができます。

単純に計算で攻めるのか、場合分けをするのか、試験場でも悩むことはあるでしょう。
けれど、悩むなら、まずは樹形図を書いてみる、という基本に立ち返る姿勢も重要です。

樹形図の発想には調べ上げの工夫が詰まっているのですから。

書き始めて、途中で法則に気付いたなら、そこから計算に切り替えることもできます。
そのような注意深さをもって問題に当たれていたかどうかで成否が決まる、合否を分けた一題といえるでしょう。

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