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算数の合否を分けた一題

芝中学入試対策・算数の合否を分けた一題(2018年度)

難易度分類

[1] (1)A (2)A 
[2] B
[3] A
[4] A
[5] (1)A (2)B
[6] A
[7] (1)A (2)A (3)A
[8] (1)B (2)C
[9] B

A:芝合格を目指すなら必ず得点したい問題
B:着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
C:難易度や処理量から判断してとばすべき問題

出題総評

今年も、大問1は計算問題が全2問、大問2~9は様々な単元にわかれての中問集合、という昨今の形式が踏襲された入試となりました。
詳細については、大問1が分数や小数の混合計算および逆算、大問2は平均算、大問3は割合(食塩水)、大問4は割合(倍数算)、大問5は数の性質の問題、大問6は平面図形の問題、大問7は速さの文章題、大問8は規則性の問題、大問9は立体図形の問題でした。

問題別寸評

[1]
(1)

答 4.2
分数と小数が入り混じった計算問題。落ち着いて一つずつ順番に計算し、答えを出すように。

(2)

答 4.8
分数と小数が入り混じった逆算の問題。先に計算できるところは、計算をして数値をしっかりと求めておくように。(1)も含め、ここでの失点は避けたいところです。大問1で費やせる時間は4分程度まででしょう。

[2]

答 15.75g
10個の重さの平均を求める問題。計算の工夫が出来そうですが、あれこれ考えると時間を浪費するだけです。率直に、全ての値の合計を取って10で割ってしまいましょう。ただ、縦に10個の数値をとって筆算するのは計算ミスを誘発するだけなので、2つずつの和を取って少しずつ計算していく方が望ましいです。

[3]

答 8%
2種類の食塩水の、典型的なやり取りの問題。流れ図(分子に塩の量、分母に全体量を記した分数の図)を用いて、動きを整理していくようにしましょう。以下のようになります。
2018_gouhi_sansu

上図より、〇は22-15=7となり、7×6=42が?+10なので?=32、Bの最初の濃度が求まります。

[4]

答 B君…1200円 買ったもの…400円
登場人物が3人いる倍数算の問題。各々の人物の状態を、問題文の条件と照らし合わせながら式にしていきましょう。C君の残金を①円とおくと、B君の残金は②-200円となり、さらにA君の残金は(②-200)×3+700=⑥+100円となります。
A 3500-買ったもの = ⑥+100
B   □ -買ったもの = ②-200
C  900-買ったもの = ①
3人が買ったものはみな同じ額なので、それぞれの金額の差が買う前と後で変わらないことに着目します。AとCの差を見てみると、2600=⑤+100となるので、①=500となって答えが求まります。

[5]

“…で…回割れる”という考え方を基にした数の性質の問題。詳細は、合否を分けた一題として後述いたします。

(1)

答 4個

(2)

答 7回

[6]

答 12.5倍
正三角形をテーマとした、面積比の問題。EGCFが四角形なので、点Fから点Gに直線を引いて2つの三角形にわけます。△FGCは1辺が1cmの正三角形、△ABCは1辺が5cmの正三角形なので面積比が求まります。また、△EFGも△FGCも面積が同じことからも答えが導き出せます。平易な問題なので、確実に得点しなければなりません。

[7]

特殊算の考え方が絡む、速さの問題。時間、分の単位に気を付けてさえいれば易しい問題です。確実に全て得点しましょう。

(1)

答 36㎞
時速20㎞で進んだ時間と時速80㎞で進んだ時間の合計が与えられており、全体の距離も与えられています。速さが2種類あり、各々の時間を考えていくので鶴亀算です。一般道でかかった時間が1.8時間とわかり、答えが出せます。

(2)

答 時速88㎞
(1)より高速道路は300-36=264㎞、問題文の条件から高速道路で費やした時間が5時間6分-18分-1時間48分=3時間となるので速さが求まります。

(3)

答 208㎞
一般道でかかる時間はこれまでと変わらず1時間48分なので、高速道路でかかった時間は5時間20分-1時間48分=3時間32分です。距離が264㎞で、時速80㎞および時速60㎞と2種類の速さが存在するので、(1)と同様に鶴亀算を用いれば答えが出ます。

[8]

数表が絡む、規則性の問題。1列の奇数行と、7列の偶数行が空欄になっていることに注意を払わなければいけません。

(1)

答 84行の5列目
1から12までを1グループとして考えます。500÷12=41…8ですが、あまりが8ということは1つの行につき数が6個までなので2行目に差し掛かります。1グループにつき2行なので、2×41=82行に先ほどの2行を追加することに注意しましょう。

(2)

答 6604
全体を通じて、丁寧な規則の書き出しや緻密な作業力、計算力が求められる難問でした。5列目の数について、1・2行目の和は12=12×1、3・4行目の和は36=12×3、5・6行目の和は60=12×5となり、12×(手前の行数)となることが言えます。したがって、21・22行目の和は12×21=252となり、問題で問われていることから49・50行目の和は12×49=588。252+276+…+588となるので、等差数列の和の公式を使って求めます。また、51行目については51・52行目の和が12×51=612、51行目の数と52行目の数の差は4なので和差算を使って求めます。あとは、両者を合計すれば答えが求まります。2行ずつの和を取って規則を見つけ出さなければならないことに加え、中途半端な51行目についても考えなくてはいけないことを考えると、試験全体で最も難しい問題だったと言えるでしょう。

[9]

答 DE…1.5cm 点Dを含む立体の体積…17.625㎤
昨今の入試で、どの学校でも出題されやすくなっている立体切断の典型題。線を延長して考えるという方法はしっかりと身に着けておきましょう。まずは、CからBの線を延長すると下図のようになります。
2018_gouhi_sansu_2
FBGとHCBの砂時計相似に着目すると、FB:BH=FG:HC=1:2なので、FGは3÷2=1.5cmとわかります。同様に、CからAの線を延長すると下図のようになります。
2018_gouhi_sansu_3
IJAとKCAの砂時計相似に着目すると、IA:AK=IJ:KC=1:2なので、IJは3÷2=1.5cmとわかります。
2018_gouhi_sansu_4
上図より、GJLとEIJがピラミッド型相似となり、GL:JL=4.5:4.5=1:1となるので、IEの長さが求まり、そこからDEの長さも求まります。
点Dを含む立体については、含まない方を求めて全体の3×3×3=27㎤から引いて考えます。含まない方については、底面を△GJL、高さをLCとする三角錐から底面を△EIJ、高さをIAとする三角錐を2つ(底面を△GFMとする方も同じ三角錐です)引けば求まります。計算が複雑になるので、まずは立式をしてから約分するべきところはして簡単にしてから計算をするように。

合否を分けた一題

今回は、中盤の問題群の中で数の性質の単元である大問5について合否をわけた一題として紹介しましょう。“…で…回割れる”という考え方は、単元内において定石の考え方ですが、本問ではその考え方に少しの捻りがあり、多くの受験生を悩ませた問題と言えるでしょう。

[5]数の性質
(1)

一の位から0が~個並ぶ=その数が10で~回割れる⇒10=2×5なので、5で~回割れる?ということになります(2の方が5よりも出てくる回数が多く、2は余ってしまい10になることが出来ない)。
問題の18から30までの5の倍数を拾います。20・30はそれぞれ5で1回割れるが、25は5で2回割れます(25=5×5)。したがって、1+1+2=4回割れるので、4個となります。
答え:4個

(2)

4=2×2なので、2006から2018までの2の倍数を調べていきます。2で2回以上割れるもの(2×2=4の倍数や2×2×2=8の倍数など)もあるので、数を2×□の形にして考えていきます。なお、奇数は2で割れないので調べる必要はなく、対象は2006・2008・2010・2012・2014・2016・2018となります。
2006=2×1003
2008=2×2×2×251
2010=2×1005
2012=2×2×503
2014=2×1007
2016=2×2×2×2×2×63
2018=2×1009
合計すると2が14個となりますが、4は2が2個必要なので、14÷2=7回となります。
答え:7回

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