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算数の合否を分けた一題

青山学院中入試対策・算数の合否を分けた一題(2017年度)

難易度分類

[1]
[2]
[3]
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[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13] (1)A (2)B
[14] (1)B (2)C

A:青山学院中等部合格を目指すなら必ず得点したい問題
B:着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
C:難易度や処理量から判断して一旦とばした方が良い問題

問題別寸評

[1]

四則演算の基本。

[2]

というようにパッと小数から分数の変換ができるようにしておきましょう。

[3]

□をもとめる逆算。□は同じ数字なので、一つにまとめて解きましょう。

[4]

面積の単位変換の問題です。
10ha=10000000㎠と直し、たて2.5㎝でわります。出てきた答えは㎝なので、それを㎞に直します。

[5]

こちらもよく見る典型パターンの問題です。

の答えがどちらも整数になるように、□と△に何が入るかを考える問題です。
△は75と135の最大公約数、□は36と96の最小公倍数というのは、5年生のテキストで約数、倍数を勉強したときにでてきていますね。

[6]

A1本で新たに1本もらえ、B3本で新たに1本もらえます。
問題の条件から
A ①
B ④−1本
はずれ □本
とすると、①+④−1+□=75本・・・全部の本数、①×1+(④−1)÷3=9本・・・当たった本数
この2つの式を解くと求めることができます。
「全部の本数」についてと、「当たった本数」についての式を作ることに気づいて欲しいところです。

[7]

年令算と和差算
現在3人の和が78歳なので、4年後は4×3=12足されるので、78+12=90
太郎+弟:おじいさん=④:①ということを利用すれば、①が出て来ます。
⑤=90
①=18が求められるので、4年後太郎君と弟の和が18才。
それぞれ4年足されているので二人で4×2=8年分を18から引きます。
18-8=10・・・これが現在の2人の和
太郎と弟は2才差なので、和が10、差が2より和差算を解いて、太郎君は(10+2)÷2=6才

[8]

青学では必ず毎年出てくる折り返し問題です。折り返しの問題をかなりの量練習していた生徒さんであれば難なく解けるはずです。「折った」問題は必ず「折る前」と同じ角度を見つけて解くということがポイントです。

[9]

ニュートン算の典型パターンです。
一つのレジから入る量を①とし、増える量を□とすると、
1つのレジと2つのレジでは、かかる時間の比が100分:30分=10:3
速さの比は、3:10となるので、
①-□=3
②-□=10
下の式から上の式を引くと、①=7とわかります。
□=7-3=4より、
1つのレジで1分間に入っていく量は、7-4=3 3×100分=300・・・初めに溜まっていた量
300÷4=75分でこれだけの量がたまったということがわかります。

[10]

問題文中の「直径6㎝の半円」と「点A, Bを中心とする半径6㎝のおうぎ形」を見つけることができたでしょうか。問題の図は完成図が描かれているので意外と見つけにくいものです。しかし、問題文に忠実に思い込みや見た目は捨てて問題文を読むことが大切です。

[11]

今年度の合否を分けた一題として、後ほど詳しく見ていきます。

[12]

表の読み取り、問題文の読み取りがポイントです。
「8時までにクラス全体の8割の生徒が」とあるように、表の8:00〜8:10と8:10〜の下2段を見ます。そうすると、8+1=9人が入っているので、この9人がクラス全体の2割に当たります。
9÷0.2=45人
表の上3段に入る人数は45−9=36人
次に、「電車のみを利用する生徒のうち」
「7:40までに登校する生徒」:「7:50〜8:00」=①:②
「バスのみ」:「電車のみ」=3:16

③+14:う+4=16:3
内項の積=外項の積より、
⑨-16×う=22となります。

③+う=20人
⑨-16×う=22 
消去算を利用して、
⑨+3×う=60
⑨-16×う=22 より、19×う=38 う=38÷19=2人

[13]

(1)水そうを正面から見た図を書き、時間や数値を入れましょう。

よって、ア+イ:ウ=16分:12分=④:③    ④:③+④=4:7

(2)

[14]

踏切にさしかかる前から警報がなる問題は、吉祥女子のH25第1回[4]でも同じ問題が出ています。
(1)で、列車Aが踏切を通過するときに警報機が鳴り続ける時間を求め、それを踏まえて(2)にいく誘導式問題です。

(2)列車Aが踏切に近づき警報機が鳴り始めたところから、列車Bがいるところまでに距離が1405mなので、列車Bから踏切までが、1405−625−10=770m
列車Bが770+10+150=930動く間、ずっと警報機がなっているので、
930÷15=62秒 
「列車Bが踏切を過ぎて10秒間警報機が鳴り続ける」ので、62+10=72秒間

【合否を分けた1題】

[11]

一見、簡単なように見える問題ですが、解き方によっては、時間がかかってしまったり、完答できなかったりと合否が分かれる問題ではないかと思います。
どのように整理したらよかったのかということを、ここでは示していきたいと思います。

P、Q、R、Sの点が同じ頂点に集まる時間を求める問題です。

QがPを、RがQを、SがRを追いかけていくので追いかけ算で求めることができます。
ただ、4点それぞれ出発地点が違うので、どこの点で集まっているかが、追いかけの時間だけで求めてしまうと、本当に合っているのかが見えにくくなります。
なので、どこの時間にどの点にいるのか表を作って整理してみます。

つまり、3秒後、7秒後、11秒後に4点P,Q,R,Sは同じ頂点Dにいることがわかります。
3,7,11,15,・・・・・
と続く等差数列なので、
5回目は、3+4×(5-1)=19  よって19秒後が同じ位置にいるとき

この問題を、追いかけ算で解いてみると、
QがPに追いつくのは、3㎝÷(2-1)=3秒後、2回目以降は、4÷(2-1)=4秒ごと
3,7,11,15・・・となります。

また、RがQに追いつくのは、3÷(3-2)=3秒後、2回目以降は、4÷(3-2)=4秒ごと
というように、RがQに追いつくのも、それぞれの速さの差が1㎝/秒なので、同じことになります。

同様に、SがRに追いつくのも、 3÷(4-3)=3秒後、2回目以降は、4÷(4-3)=4秒ごと
ですよね。
追いつく時間が同じですが、場所がどこで同じになるのか、それを目で分かるようにするには、やはり表でまとめておいた方がいいでしょう。試験時間内でも、「どこで追いつくのか?」と疑問に思ったら表や線分図など何か手段を使って表すということを試みてください。これは、日ごろから、自分で調べたり、どうなっているのかということを疑問に思って、それを図にする練習をしておく必要があります。難しい問題ではないですが、見落としてしまったり、えいやっと答えに無理やり結び付けてしまったりしていると、細部で減点されたり点数を落としてしまうことになります。
日ごろからの書く練習が大切ですね。

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