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算数の合否を分けた一題

本郷入試対策・算数の合否を分けた一題(2018年度)

難易度分類

[1] (1) A  (2) A 
[2] (1) A  (2) A  (3) A  (4) A  (5) A  (6) A
[3] (1) A  (2) A  (3) A
[4] (1) B  (2) B  (3) B
[5] (1) A  (2) B  (3) C

A:本郷中学合格を目指すなら必ず得点したい問題
B:着眼点や解法ツールにより正答率・かかる時間に差がつく問題
C:難易度・処理量から判断して、得点差がつかない問題

総評

【1】は計算 【2】は1行問題の小問集合 【3】は水量変化 【4】は立体図形 【5】は場合の数および条件整理の出題であり、大問5題、小問17題からの構成でした。【5】の条件整理は考える時間が必要である問題でしたが、全体としてはオーソドックスな問題の出題となりました。難易度は例年よりかなり易化したと言えるでしょう。合格者平均点も74.8点と例年より高く、【1】【2】をしっかり得点し【3】【4】を落ち着いて着手出来れば合格点に届いたと思われます。本郷中学は例年速さや水量変化でグラフの問題が出題されています。日頃からグラフに慣れておきましょう。また、立体図形の切断なども頻出単元であり、日頃から問題を解く際には立体図形の切断面をノートにしっかり書き、練習しておく必要があります。そうすれば十分に対応することができるでしょう。

問題別寸評

【1】計算

(1)逆算。(2)四則演算の基本。
 

【2】

1行問題の小問集合である。ケアレスミスに注意し落ち着いて解答し、全問正解したいところです。
(1)弁償算
もしコインが30回とも全部表が出たら東へ240m。これは実際より120m東に進んでいるので 120mに戻さなければならない。表と裏を1回交換すると8+4=12m西へ戻る。
(240-120)÷(8+12)=6回→これは裏が出た回数だから30回-6回=24回が表の回数となります。
(2)割合の問題
-200 : ④+400 = 3 : 4   これを解けば ➀=250 250×5=1250円

(3)速さの問題
2018_gouhi_sansu_1

(4)いもづる算
8才の子供の人数をx人, 7才の子供の人数をy人とすると5×x+4×y =39となるのでいもづる算で考えると右の表のようになります。したがって8才の子供の最大の人数なので 7人となります。
2018_gouhi_sansu_2
(5)場合の数
全員が少なくとも1個はもらえるので、まず7個のうち5個を全員に1個ずつ渡しておきます。残りの2個を5人に配るところを場合分けして考えます。
①異なる2人に2個を配る。→5人の中から2人を選ぶ組み合わせ方と同じです。
5×4÷2 = 10通り
②5人のうち1人が2個もらう配り方→5通り
➀と②より10+5 =15通りとなります。

(6)
半円の中心が移動したあとを問題文中の図にしっかりと作図してから解くことが望ましいです。
半円の弧が直線AB上を転がるとき、中心の長さは半円の弧の長さに等しいので
4×2×3.14×1/4×2 + 4×2×3.14×1/2 = 8×3.14 =25.12 cm

【3】

水量変化の問題。
グラフから読み取っていく問題。オーソドックス問題ですので本郷中合格を目指す受験生なら容易に正解できたことでしょう。
(1)もっとも広い底面積で水が入るとき、100分で10cm分水が注がれます。
よって100cm×50cm×10cmの水量を100分で注ぐことになるから、1分あたり100×50×10÷100=500㎤ の割合で注がれます。
(2)右側の部分の高さ40cmまでは120分間で水が注がれるため底面積の横の長さは500×120÷50÷40=30cm よってxは100-20-30=50cm
(3)鉄の円柱の体積は1000㎤で高さが10cmであるから底面積は1000÷10=100㎠

【4】

本郷中の頻出問題である立体図形切断の問題である。必ずマスターしておきたい問題です。
立体の切断の問題は切断面をしっかり作図するところからはじまる。
2018_gouhi_sansu_3

切断面である四角形(等脚台形)AFIJの辺AJの延長した直線とFIを延長した直線との交点を点Kとすると、三角すいKAEFができる。
(1)三角形AEFと三角形JHI、そして台形AEHJおよび台形FEHIの面積を求めます。
2018_gouhi_sansu_421.5㎠

(2)対応する頂点の位置を正確に把握し正解したいところです。わかっていてもミスの発生が出やすい問題ですので問題で与えられている展開図上にしっかり立方体の頂点を書き込んでから作図をおこない解答してくだい。

(8)三角すいKAEFの体積から三角すいKJHGの体積をひくことによって求めます。
辺H Kのの長さが求められれば容易に計算できますね。
三角形ADJと三角形KHJが相似であることを利用するとAD : KH = DJ : HJ = 1 : 2より、HK=6 ㎝ になる。
3×3×1/2×(3+6)×1/3 - 2×2×1/2×6×1/3 = 2018_gouhi_sansu_5

合否を分けた一題

【5】

【5】は昨年同様、先生と生徒との会話が展開され、その会話の内容に隠れている課題を問題として受験生に問うという条件整理からの出題でした。(1)は大小2つのサイコロの目の出方の問題で容易に正解することが出来たでしょう。、(2)(3)は条件整理・推理を必要とするため、解答するのに時間を要する問題でした。今年の【5】はあせって解いてもなかなか正解にたどり着けず、残り時間がなければ飛ばして解答しないという選択もあったのではないでしょうか。ある程度ゆっくり考える時間が確保できれば(2)を正解できた受験生も多いのではないでしょうか。
 
6×6=36通り。
(2)例えば出た目の積が5であれば、大小2つのさいころの目は(大,小)=(1,5)か(5,1)のように1が大のサイコロの目なのか小のサイコロの目なのか確定できません。大,小のいずれの目の数も確定できるのは大小のサイコロの目が両方とも同じ数の目になっている場合のみです。したがって(1,1)(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(6,6)の6通りが考えられますが(2,2)の場合、積が4で(1,4)(4,1)でもよいことになり、積の値から大小の目の大きさがともに確定するという条件にあいません。よって上の6通りから(2,2)を除いた5通りとなります。
(3)大小のサイコロの積と差から大小ふたつのサイコロの出た目の組みを答える問題。
大小のサイコロの目の差は0~5が考えられるが、差が0以外の場合、いずれも大小のサイコロの目なのか確定できません。例えば差が5だとすると2つのサイコロの目は1と6であるが大きいサイコロの目が1なのか6なのかわかりません。差が0であれば大きいサイコロの目も小さいサイコロの目も同じ値ということになります。積が1であれば(1,1) 9であれば(3,3) 16であれば(4,4) 25であれば(5,5) 36であれば(6,6)と大小の目は判明するはずである。積の値を先生におしえてもらった時点でAくんはまだ大小サイコロの目が確定することが出来なかったので
条件に合うのは(2,2)のみである。

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