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算数の合否を分けた一題

武蔵中入試対策・算数の合否を分けた一題(2015年度)

難易度分類

[4](1)A (2)A (3)B (4)C

[1] (1)A  (2)A
[1] (1)B  (2)B
[3] (1)A  (2)B

A…武蔵中合格を目指すなら、確実に得点したい問題
B…知識、解法次第で、得点に大きく差がつく問題
C…難易度、処理量から判断して、部分点を拾えれば良しとする問題

問題別寸評

[1]

(1)は旅人算ですが、同時に到着ではなく1分の差ができています。この情報をどう整理して活用するかがポイントですね。今回は二人とも速さが分かっており、なおかつ駅から太郎の家までの距離もわかっているので、太郎が次郎よりも余計に進んだ距離、500mにかかった時間も分かります。したがって太郎が初めに駅に到着した時間と次郎が駅に到着した時間の差が6-1=5分だと分かります。また、同じ距離を進む場合にかかる時間の比が速さの逆比になることを利用して、太郎と次郎が学校から駅まで行くのにかかった時間の比は3:5と分かりますから、太郎が学校から駅までかかった時間は
5÷(5-3)×3=7.5分、よって駅までの距離は、5000m×7.5÷60=625m

(2)は時計算です。遅れる時計の時刻が、時刻そのものではなく時計の針で情報を与えられています。8時の時は単針と長針の差が240°、それが53°まで縮まっているということは8時から何分経過したか分かりますので、この時計が8時何分を指しているのか求めることができます。
同じように15時10分のときの時計についても、15時何分を指しているのか求められますので、ここから先は遅れる時計の基本問題として処理できます。

[2]

一見、差集め算のようにも見えますが、、、  【合否を分けた一題】にて後述します。

[3]相似や図形の性質を利用した問題

(1)は、クロス型相似を活用して、AH:HDの辺の比から、三角形AHGと三角形DHIの面積の比が分かりますので、これと面積の差の情報から、三角形HDIの面積を求めることができます。
また、三角形DHIと三角形CEIもクロス型相似で、DI:ICの比が分かりますので、これと、先ほどのHDIの面積の情報から、高さDIを求めることで、DI+DCすなわちABの長さが求められます。

(2)は差がつく1題ということで後述します。

[4]調べあげの問題

(1)では6と5が既に使われており、なおかつBが5なので、残りのどの数よりも大きいことが分かっているため、Cに入れる数にも制約がありません。よって、気をつけるべき条件はFとEの関係のみですので、FとEの数の入れ方を考え(F,E)=(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,3)、(2,4)、(3,4) それぞれについて残りの2か所はどちらでも大丈夫ですので、6×2=12通りと分かります。

(2)答えが整数になるためには分数部分が消えてくれなければなりません。同じ数字は使えないのですから、見た目は異なっても同じ数を表す、そんな分数を利用します。
すると、2分の1と6分の3、4分の2と6分の3、3分の1と6分の2、3分の2と6分の4の関係が、これにあてはまります。それぞれの場合で、残った2つの数字が大きい順にA、Dにあてはまり、あとは2つの分数の前後は入れ替え可能ですので、各2通りできるため、4×2=8通りとなります。

(3)答えが最も大きくなるためにはAに最も大きい数を、Dに最も小さい数をあてはめます。
(4)答えが最も小さくなるためには、AとDの差をできるだけ小さく、また引かれる数の方の分数部分を小さく、引く数の方の分数部分をできるだけ大きくして考えてみます。

合否を分けた一題

合否を分けた、という観点では[2]が、そして、差がついた問題が[3]の(2)と言えるでしょう。

[2]は一見差集め算の応用のような見た目ですが、男子も女子も人数が分かっておらず、人数の「差」だけが与えられています。

したがって、男子で一人あたり3個減らし、女子で一人あたり1個減らした時に、必要な数は全体で何個減ったか、という部分に着目して消去算をつくることになります。
男子が□人、女子が○人とすると、 □×3 + ○×1 = 71+6=77
また、男子は女子よりも7人多いので、□ = ○ + 7
これを解くと、○=14人、□=21人となりますので、生徒の人数は14+21=35人と分かります。

(2)先の問題の結果を利用することで、あめの数=チョコレートの数は349個とわかります。
欠席した生徒が4人以上ですから、裏を返せば出席した生徒は35-4=31人以下。あとは、この情報を利用して、8個×△+10個×☆=349-55=294 を満たす△を調べっていきます。
今回は相方が10の倍数なので、1の位の数字「4」に着目することで素早く絞り込むことができるでしょう。
8の倍数で1の位が4になるのは、△=3、8、13・・・ そのうち、△+☆≦31を満たすことができるのは8までですから、答えは3人、8人だけだとわかります。

[3]の(2)は「面積の和」をどう利用するかが、差のつきどころになります。
DLとLCを合わせた長さが(1)で求めたABと等しくなっている、というところをうまく利用できるように、等積変形を試みましょう。

すると、よく見慣れた図形上の点の移動の基本問題が現れてきますので、Dを出発するときは54㎠、Cに到着したときは43.2㎠、その途中のL地点で47.6㎠になる、と考えることによって、
DL:LC=16:11という情報を得ることができます。
この情報を利用して、三角形KEFと三角形KCLの相似に注目すると、KC:CE=11:16が得られます。
CEが8cmなのですから、KC=5.5cm、よってBK=10-5.5=4.5cmと分かります。

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